h-协边和高维Poincaré猜想 Ⅱ


有关h-协边定理的原始论文是

Smale  On the structure of manifolds

基本的想法来自Morse理论:给定M^n上的Morse函数f,指数为k的临界点pf(p)=Cf^{-1}[C-\epsilon,C+\epsilon]中不存在其他临界点。记M_{a}=f^{-1}[-\infty,a],则M_{C+\epsilon}微分同胚于M_{C-\epsilon}借助特征映射\phi:S^{k-1} \times D^{n-k} \to M_{C-\epsilon}粘贴上一个k-环柄h^k=D^k \times D^{n-k}。这给出M环柄分解

D^k \times 0称为k-环柄的核,\phi(S^{k-1} \times 0)称为粘贴球,0 \times S^{n-k}称为带状球。

Morse理论通常仅考虑同伦型 (k-环柄同伦于k维胞腔),这已足够提取同调群的信息。将胞腔同调平行地搬运过来:所有k-环柄记为C_k,边缘算子\partial_k: C_k \to C_{k-1}\partial_k(h^k_\alpha)=\sum <h^k_\alpha|h^{k-1}_\beta>h^{k-1}_\beta<h^k_\alpha|h^{k-1}_\beta>h^k_\alpha的粘贴球与h^{k-1}_\beta的带状球的相交指数。易见链复形\{C_k,\partial_k\}的同调同构于胞腔同调/奇异同调。

越简单的胞腔分解越便于应用,同理我们希望简化环柄分解。有3种主要手段:

(a)环柄重排:首先,任意环柄都可以在更高维的环柄上“滑动”,因此我们可以按维数粘贴环柄而不改变M的微分同胚型;其次,2个k-环柄间的“滑动”也是允许的,其代数效应相当于C_k的基底变换/\partial_k的初等变换。

(b)环柄消去:特定的k-环柄和(k-1)-环柄可以成对消去。具体地说,若h^k_\alpha的粘贴球与h^{k-1}_\beta的带状球横截相交于一点,则可以消去h^k_\alphah^{k-1}_\beta,这称为几何消去。

我们需要更强的代数消去:在\partial_k(h^k_\alpha)=\pm h^{k-1}_\beta的假设下消去h^k_\alphah^{k-1}_\beta。为了化归为几何消去,需在保持相交数不变的情况下消去异号的交点。当M^n单连通,n \geq 5k \geq 3n-k \geq 2时,Whitney技巧保证这总是可以做到的。

Whitney技巧是高维微分拓扑中最强有力的手段,但也导致了(根本性的)维数局限。

(c)环柄交易:

我们还需要处理0-,1-,(n-1)-和n-环柄。首先注意到环柄是对偶的:取Morse函数-f,则原本指数为k的临界点变为指数为n-k的临界点,k-环柄变为(n-k)-环柄,因而不妨仅考虑0-和1-环柄。连通性保证0-环柄可用1-环柄消去。当n \geq 5时,1-环柄界定一个嵌入圆盘。我们先生成可消去对(h^3_i,h^2_i),再用2-环柄消去1-环柄,留下便于处理的3-环柄,这称为一宗“环柄交易”。

将上述考虑应用于h-协边3元组(P^n,Q^n,R^{n+1})。h-协边有几种等价的表述:

(1)R同伦于平凡协边P \times [0,1]

(2)PR形变收缩核(类似的,Q);

(3)如果3者均单连通,(2)等价于H_{*}(R,P;\mathbb{Z})=0(类似的,Q);

显然,(3)是最合适我们目的的表述:应用上述3种操作可以将R的环柄分解化到最简,从而说明其微分同胚于平凡协边——h-协边定理得证。

Milnor系统总结了上述理论。他主要考虑Morse函数而非环柄。

Milnor  Lectures on the h-cobordism theorem

历史发展的顺序和我们介绍的相反:Smale提炼了他对高维Poincaré猜想的原始证明,得到h-协边定理。在Smale的原始证明中,他利用同调群的特征成对消去M中冗余的环柄,剩下一对0-环柄和n-环柄粘成S^n。最后的步骤相当于Reeb定理

注记

Poincaré猜想通常和“球定理”相关。n \geq 4的情况与Reeb定理相关。n=3的情况则受到Riemann几何中球定理的启发(证明也基于Reeb定理):截面曲率落在(\frac{1}{4},1]中的单连通Riemann流形同胚于球面。于是想到可以引入Ricci流将曲率“均匀化”来控制拓扑。

Morgan, Tian  Ricci flow and the Poincaré conjecture

Brendle和Schoen改进了Ricci流,证明“同胚”可加强为“微分同胚”(赋予球面标准微分结构)。

Brendle, Schoen   Manifolds with 1/4-pinched curvature are space forms

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