Thurston的八正道 V


(c)G'_x=id。此时Lie群X=G'/G'_x是紧模型的理想候选。于是现在的任务是:考察所有连通且单连通的3维Lie群,找出包含离散且上紧子群者,最后检验是否给出新的标准几何。

由于具有相同万有覆叠的Lie群有相同的Lie代数,标准的手法是转而分类Lie代数。

(1)对于左不变向量场V\mathrm{div} \,V=\mathrm{tr}( \mathrm{ad} \, V)\mathrm{ad}为Lie代数的伴随表示

存在紧模型:熟知在紧Lie群上存在左右不变的Haar测度,换言之,紧Lie群都是幺模的,故对v \in \mathfrak{g},相应的左不变相流保持体积,\mathrm{tr}( \mathrm{ad} \, V)=0

(2)伴随表示与Lie括号的关系是:(\mathrm{ad} \, v)(w)=[v,w]v,w \in \mathfrak{g}

Lie括号可视为\wedge^2 \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}。给定内积和定向,3维空间上有同构V\wedge W \to V \times W,故Lie括号诱导线性映射L:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}。简单的计算显示,\mathrm{tr}( \mathrm{ad} \, V)=0等价于L是自共轭映射。取恰当的正交基使L对应对角矩阵,从而可以由参数\{c_i\}_{i=1,2,3}唯一刻画。进一步,可要求c_i=0,\pm 1

(0,0,0)对应G=\mathbb{R}^3

(1,1,1)对应G=S^3

(1,0,-1)对应\mathbb{E}^2的等距同构群的万有覆叠;

(1,1,-1)对应G=\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})

(1,0,0)对应Heisenberg群;

唯有(1,1,0)给出新的标准几何:可解几何。

G是由形如(x,y,t) \mapsto (e^c x+a, e^{-c}y+b,z+c)的变换构成的可解群,a,b,c \in \mathbb{R}。对所有Anosov映射f,环面丛T^2_f都是可解几何的紧模型。

至此,我们已完整阐明了Thurston的八正道。

【Sharing Session】

旅途终了,略作总结。

作为对几何化猜想的初步导引,我们的讨论无疑是粗糙的。例如,仔细考察离散子群\Gamma \in G,可以获得完备得多的判断流程图(点击图片可放大):

取自Thurston  Three-dimensional geometry and topology

然而,在我看来这一程的主要乐趣在于利用非常初等的工具考察多姿多彩的对象。与不断发展更抽象的理论相比,这显然更为有趣,也更有意义——如果相信如此精巧的数学的存在必然有某种意义的话。

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