Thurston的八正道 Ⅳ


(b2)曲率不为0。承接(b1)最后的讨论,H定义了某个接触结构。在纤维方向上伸缩尺度并调整纤维和底空间的定向,不妨假设曲率为1。由于N单连通,这已唯一决定了可能的几何。

另一方面,可以构造典型的紧模型:给定带有Riemann度量的曲面N,若N的Gauss曲率严格正或严格负,则单位切丛(视为SO(2)-主丛)上的Levi-Civita联络定义了某个接触结构。取单位切丛为紧模型,其万有覆叠给出M。于是得到下述2种情况:

(1) N=S^2。此时单位切丛是SO(3),其万有覆叠M=S^3。此时G是保持Hopf纤维化的等距群,因而不是极大的(参见(a)中的讨论)。

(2)N=\mathbb{H}^2。此时单位切丛是PSL(2,\mathbb{R}),作为其万有覆叠,M=\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})G_x=O(2)G有2个连通分支。所有紧双曲曲面的单位切丛都是此种几何的紧模型。

第3种标准几何需要更多说明:

(3) N=\mathbb{E}^2,我们得到幂零几何。先来看一看这种几何的图像:

取自Thurston  Three-dimensional geometry and topology 

接触结构由(1,0,0)(0,1,x)张成。此时测地线称为Legendre曲线(请读者想象)。

(提升性质)对xy-平面中的\gamma和投映到\gamma(0)p,存在唯一的Legendre曲线\tilde{\gamma}使得\tilde{\gamma}(0)=p

G保持接触结构,且投映到xy-平面上给出\mathbb{E}^2的等距同构。一个典型的例子是

(x,y,z) \mapsto (x+a,y+b,z+ay+c)v=(a,b,c) \in \mathbb{R}^3

不难验证这样的等距同构所成的群同构于Heisenberg群H_3(\mathbb{R})。在所有连通且单连通的3维Lie群中,Heisenberg群是唯一的非交换幂零群,这解释了“幂零几何”这一命名。

注记1

下一章将给出连通且单连通的3维Lie群分类。

h_{v1}h_{v2}H_3(\mathbb{R})中的2个元素。若v1v2线性无关,则生成的子群是离散且上紧的(cocompact)。例如,取v1v2为单位坐标向量,则得到整Heisenberg群H_3(\mathbb{Z})

注意上述讨论提供了(以商群为纤维)构造幂零几何的紧模型的方法。此外,除T^3外的所有T^2上的定向圆丛都拥有幂零几何的结构;当fDehn扭转的幂时,环面丛T^2_f拥有幂零几何的结构。

注记2

Heisenberg群源于量子力学的矩阵形式。介绍其物理意义及在数学上的发展需要较大的篇幅,我们仅举出2个相关的概念供感兴趣的读者参考:Stone-von Neumann定理及(推广后的)Mackey理论

Mackey  The theory of unitary group representations

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