h-协边和高维Poincaré猜想 Ⅰ


共有3枚Fields奖章为Poincaré猜想颁出:Smale,1966,n\geq 5;Freedman,1986,n=4;Perelman,2006,n=3。承接关于几何化猜想的讨论,我们来介绍Smale的h-协边定理及他对高维Poincaré猜想的证明。

Smale  Generalized Poincaré’s conjecture in dimensions greater than four

我们假定读者对Morse理论协边理论有最基本的了解。例如,可以参考

Milnor  Morse theory  Chapter 1

Milnor  Topology from the differentiable viewpoint  Chapter 7

1.(Poincaré猜想)若光滑闭流形M^n单连通且与S^n有相同的整同调群(或者简单地说具有S^n的同伦型),则M^n同胚于S^n

n=3时由Poincaré对偶Hurewicz定理知基本群完全控制同调群,故可去掉同调群相同的要求,这就是Poincaré本人的原始猜想;n \geq 5时此猜想称为高维 Poincaré猜想。

n=5,6时,猜想中的“同胚”可加强为“微分同胚”;n \geq 7时这一加强不成立(由于Milnor怪球的存在);n=3时,由Moise对主猜测的证明,“同胚”意味着“微分同胚”;最后,n=4时的光滑Poincaré猜想仍是开问题(尚不知道S^4上是否有怪异微分结构)。

作为千禧七难题之一,Clay数学研究所对Poincaré猜想的官方叙述参见

Milnor  The Poincaré conjecture

迄今为止,7个难题中唯有Poincaré猜想得到解决。

2.PQ之间的协边R称为h-协边,若R同伦于平凡协边P \times [0,1]

(h-协边定理)假定单连通流形R^{n+1}是单连通可定向紧流形P^nQ^n之间的h-协边。若n \geq 5,则R微分同胚于P \times [0,1],且可保证此微分同胚在P上的限制是恒等映射。特别地,PQ微分同胚。

证明留待后叙。

我们将看到,由于对Whitney技巧的依赖,n \geq 5的要求是本质的。n=4时Whitney技巧失效(Kervaire, Milnor),但以“同胚”代替所有“微分同胚”后,h协边定理却仍然正确,这已足以推出4维Poincaré猜想(Freedman)。n=3时,定理成立与否取决于S^4上是否存在怪异微分结构(?);n=2时定理等价于3维Poincaré猜想(Perelman)。

3.高维Poincaré猜想是h-协边定理的简单推论:

首先假定n \geq 6。从M^n上截下2个圆盘D_1^nD_2^n。余下的M /D_1 \cup D_2是2片S^{n-1}间的h-协边(用到M^nS^n有相同同伦型的假设),因而由h-协边定理,微分同胚于S^{n-1}\times [0,1]。不妨假定此微分同胚限制在\partial D_1上是恒等映射。

接下来将切除的圆盘“光滑地”粘回去即得到S^n。粘回D_1不成问题。至于D_2,粘贴过程中一般无法保证微分同胚延拓到圆盘的边界,因而最后只能得到较弱的同胚于S^n

n=5的情况要难一些。首先要构造可缩流形N^6M^5为边缘(Milnor,Kervaire)。从N上截去圆盘D^6,余下的部分是从M^5S^5的h-协边。再次应用h-协边定理,即得到所需要的(微分)同胚。我们顺带证明了S^5有唯一的微分结构。

S.Smale(1930-  )

Smale先后致力于微分拓扑学,动力系统,数理经济学,计算理论和神经科学的研究,思考的深度和广度都极为罕见。鲜为人知的是他还是世界级的矿石收藏家。我有幸在清华听过他的讲座,时年80岁的数学家兴致勃勃地谈起人脑识别图像的能力——“telling cats from dogs”.

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