从微分几何观点看Schwarz引理 Ⅱ


Schwarz-Ahlfors引理的高维推广有赖于两代华人领军数学家:陈省身和丘成桐。

陈省身和鲁永振提出如下定理:

(Chern-Lu)赋予单位球B^n\in \mathbb{C}^nPoincaré-Bergman度量g(标准化使Ricci曲率为-1),Kähler流形(M^n,h)的全纯双截曲率\leq -K <0f:B^n \to M^n为全纯映射,则\displaystyle f^*h \leq \frac{1}{K}g

证明仍沿着Ahlfors给出的路线,尤其是袭用了“圆盘收缩”的技巧。我们仅指出几个要点。

首先,要找到满足f^*h \leq u(z)gu(z)。最自然的选择是诱导度量f^*h的迹。

其次,为刻画u(z)在最大值点处的行为,必须基于Riemann度量定义\triangle(作为Hessian算子的迹)。另一方面,考察Hermite度量允许我们用流形的曲率表出\triangle的作用(Gauss公式的这一推广称为Chern-Lu公式,是证明中最核心的技术步骤)。Poincaré-Bergman度量是Kähler度量,这保证了上述2种\triangle的定义是相容的。

最后,收缩技巧也依赖于Poincaré-Bergman度量的特殊性质:它还是Einstein度量

关于技术细节,可参阅原始论文

Chern  On holomorphic mappings of Hermitian manifolds of the same dimension

Lu  Holomorphic mappings of complex manifolds

注记1

就我查阅所及,试述鲁永振生平如下:1938年生,原籍湖北。自台湾赴美,师从Griffiths学习复几何,上述文章为其博士论文。中年之后转向奇点理论研究,撰有教材Singularity theory and an introduction to catastrophe theory。在Ohio州立大学任教终身,并一手创办了当地的Asian Festival,在华人圈中威望很高。

一个数学家未必能够(像陈省身那样)一生坚持进行创造性工作,但个人以为,真正重要的是实现自己生命的价值,又岂必数学乎?

丘成桐再将上述工作大大推进一步:

(Yau)完备Kähler流形(M,g)的Ricci曲率\geq -K_1,Hermite流形(N,h)的全纯双截曲率\leq -K_2f:M \to N为全纯映射,则\displaystyle f^*h \leq \frac{K_1}{K_2}g

显然Ahlfors的收缩技巧不再有效。为此丘成桐引入新的工具来逼近u(z)的最大值:

(殆最大值原理)对Ricci曲率下有界的完备Riemann流形M及上有界的\mathcal{C}^2函数f:M \to \mathbb{R},存在\{p_k\}使得\displaystyle\lim_{k \to \infty} f(p_k)=\sup_M f\displaystyle\lim_{k \to \infty}\nabla f(p_k)=0\displaystyle\limsup_{k \to \infty} \triangle f(p_k) \leq 0

这个结果明显受到调和函数最大值原理的启发。

Yau  Harmonic functions on complete Riemannian manifolds

丘成桐处理复几何的惯用手段是“软化”刚性结构以应用微分几何工具。具体地说,此处他引入辅助函数\displaystyle \phi(t) \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^+)来代替全纯的\log t,并应用殆最大值原理于\phi \circ u。牺牲刚性的代价是Chern-Lu公式被系列不等式估计所取代。为完成扫尾工作,只需选取恰当的\phi(例如,丘的选择是\displaystyle \phi(t)=-\frac{1}{\sqrt{1+t}} )来满足这些估计的先决条件。详见

Yau  A general Schwarz lemma for Kähler manifolds

2个相关发展:

(1)Royden证明可以将Yau定理中的“全纯双截曲率”替换为较弱的“全纯截面曲率”。

Royden The Ahlfors-Schwarz lemma in several complex variables

(2)在同一篇文章中,丘成桐对体积元素证明了类似结果:

完备Kähler流形M^n的Ricci曲率下有界且标量曲率\geq K_1,Hermite流形N^n的Ricci曲率\leq K_2<0。若存在非退化全纯映射f:M^n \to N^n,则K_1 \leq 0\displaystyle f^*dV_N \leq \frac{K_1}{K_2}dV_M

这被他和郑绍远应用于证明一类Kähler-Einstein度量的唯一性:

Cheng, Yau  On the existence of a complete Kähler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman’s equation

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