从微分几何观点看Schwarz引理 Ⅰ


标题取自同名专著

Kim, Lee  Schwarz’s lemma from a differential geometric viewpoint

经典Schwarz引理的重要性是众所周知的,例如,以此可决定单位圆盘\triangle的解析自同构群。

此后默认\triangle赋有Poincaré度量ds_P^2。Schwarz引理可改写成如下微分几何形式:

(Schwarz-Pick引理)若f:\triangle \to \triangle是全纯映射,则f^{*}ds_P^2 \leq ds_P^2

一般地,给定Riemann面\Sigma,(局部坐标系中的)Hermite度量ds^2=h(z)dz \otimes d\bar{z},Gauss公式给出曲率\displaystyle K(z)=-\frac{\triangle \log (h(z))}{2h(z)}。以\displaystyle h_P(z)=\frac{4}{(1-z\bar{z})^2}代入,知\triangle是曲率为-1的常曲率空间。

注记1

此处选取的Poincaré度量是通用的4倍。

Schwarz引理的如下推广是之后所有发展的滥觞:

(Ahlfors)f:\triangle \to \Sigma是全纯映射,K(z)\leq -K<0,则\displaystyle f^{*}ds^2 \leq \frac{1}{K}ds_P^2

L.Ahlfors(1907-1996)

证明:注意到f保持张量的型,故f^{*}ds^2=A(z)dz \otimes d\bar{z}A(z) \geq 0。记h_P(z)=B(z),只需证明\displaystyle u(z)=\frac{A(z)}{B(z)}\leq \frac{1}{K}

(Ⅰ)若u(z)z_0 \in \triangle处取得最大值,不妨设u(z_0)>0,则\nabla \log (u(z_0))=0\triangle \log (u(z_0)) \leq 0。结合Gauss公式,不难推出\displaystyle u(z_0) \leq \frac{1}{K}

(Ⅱ)一般来说,u不在\triangle内取最大值。为此Ahlfors引入了称为“圆盘收缩”的技巧:对\forall \xi \in \triangle,考虑圆盘\triangle_r及诱导映射f_r:\triangle_r \to \Sigma\xi <r<1。赋予\triangle_r以度量\displaystyle dz_r^2=\frac{4r^2dz \otimes d\bar{z}}{(r^2-z\bar{z})^2},不难算得u_r(z)=r^{-2}(r^2-z\bar{z})^2 A(z)u_r(z)在圆周上消失,故必在\triangle_r内取最大值。对u_r(z)套用(Ⅰ)的估计并令r \to 1就完成了证明。

Ahlfors  An extension of Schwarz’s lemma

Kobayashi度量(名不副实)d_K是复流形上的伪度量(例如,对p,q \in \mathbb{C}^md_K(p,q)=0),且满足距离不增性:d_K(f(p),f(q))\leq d_K(p,q)p,q \in Mf:M \to N为全纯映射。

称复流形M是(Kobayashi意义下)双曲的,若d_K是度量。此定义的合理性在于:若Hermite流形M的所有全纯截面曲率K_z(X,JX)\leq -K <0,则d_K是度量。

特别地,对亏格大于1的Riemann面\Sigma,上述结果是Schwarz-Ahlfors引理的推论。

考虑全纯映射f:\mathbb{C} \to \Sigmad_K(f(z),f(0)) \leq d_K(z,0)=0推出f(z)=f(0),因而f是常数。这推广了Liouville定理。若取\Sigma=\mathbb{C}/\{p,q\},则得到Picard小定理。上述讨论可视为在更高层面上对“转换原理”的回顾。

f:\mathbb{C}^m \to M时的一般结果属于Kobayashi。参见专著

Kobayashi  Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings

注记2

考虑复几何中的各种定理在算术几何中的类比是一件极有启发性的事情。关于Kobayashi定理在算术几何中的类比,参见

Levin Generalizations of Siegel’s and Picard’s theorems

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s