Thurston的八正道 Ⅲ


我们开始(b)的证明。

G_x^*=\mathrm{SO}(2),因而在每点处可以找到一根“转轴”,在M上诱导一个处处非零的、G^*-不变的单位向量场V,等价的,1维叶状结构\mathfrak{F}及相流\phi_t\mathfrak{F}中的叶显然是不自交且互不相交的,由1维连通流形的分类定理,它们是S^1\mathbb{R}M中的嵌入。综上得知N=M/\mathfrak{F}是良定义的2维流形,连通且单连通,\pi:M \to N是以S^1\mathbb{R}为纤维的主丛。

接下来确定N。选定一张叶Fx \in Fg_t\phi_t(x)映回xd(g_t \circ \phi_t)固定转轴并与所有旋转交换,因此是位似变换。然而,考虑某个紧模型,熟知(与Riemann度量相容的)g_t及相流\phi_t保持体积形式(Liouville定理),因而d(g_t \circ \phi_t)是旋转变换,推出VKilling向量场。于是NM处继承了自然的Riemann流形结构。G_*的作用约化到N上是可递的,由2维标准几何的分类定理N=\mathbb{E}^2S^2\mathbb{H}^2

现在来研究主丛\pi:M \to N的几何。与V正交的2维分布H可视为M上的Ehresmann联络。由于群作用是可递的,H的曲率是常数。

(b1)曲率为0,即MN上的平坦丛。

注意到N是单连通的,故M有平凡和乐群,从而是平凡丛。以S^1为纤维的平凡丛的万有覆叠是以\mathbb{R}为纤维的平凡丛,故仅有3种可能:

(1)M=\mathbb{E}^2 \times \mathbb{E}^1。此时G不是极大的(参见(a)中的讨论)。

(2)M=S^2 \times \mathbb{E}^1G_x=O(2) \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}G=O(3) \times \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}有4个连通分支。S^2 \times S^1是显然的紧模型。S^2 \times S^1即映射环面S^2_{\mathrm{id}}。记S^2对蹠映射为A,则不难验证S^2_A是另一个紧模型。Hopf的一条定理指出S^2到自身的映射同伦类由唯一的整数不变量(映射度)刻画。对于同胚映射,1与-1已穷尽了所有可能。换言之,S^2映射类群(用复几何的语言,Teichmüller模群)为\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

注记1

素流形的概念容易推广到n维:不可分解为2个非平凡n维流形连通和的流形。

称一个n维流形是不可约的,如果任意嵌入的S^{n-1}都是某个嵌入的B^n的边界。

所有不可约流形都是素的,但其逆不真。上述2个紧模型的有趣之处在于它们是3维仅有的2个反例。

(3)M=\mathbb{H}^2 \times \mathbb{E}^1G_x=O(2) \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}G=O^+(1,2) \times \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}有4个连通分支。给定\mathbb{H}^2的刚体群PSL(2,\mathbb{R})中的元素g,我们希望映射环面\mathbb{H}^2_g给出这种标准几何的紧模型。此处与S^2形成鲜明对比的是双曲曲面的映射类群非常复杂。

(Nielsen-Thurston分类定理)对于同胚f:\Sigma \to \Sigma,可在其映射类中找到g满足下述3者之一:

(1)g是周期的(g^n同伦于id);

(2)g是可约的(在g的作用下\Sigma有1维不变闭子流形);

(3) g伪Anosov的;

f可以同时满足(1)(2),但无论(1)或(2)都与(3)不相容。

关于这条定理的证明,有一本小书可供推荐:

Casson, Bleiler  Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston

对于我们的目的,可以证明(1)的确给出我们需要的紧模型,而(3)将给出\Bbb H^3几何。

注记2

已知如下(类比逆Galois问题而提出的)结果成立:任何有限群均可实现为某个紧致双曲3-流形的映射类群。

(b1)对应H定义某个叶状结构的情况:Cartan结构方程指出,对X, Y \in \Gamma(H)\Omega(X,Y)=-\frac{1}{2}\omega([X,Y]),其中\omega联络形式\Omega曲率形式。因而曲率处处为0是分布定义叶状结构的充分必要条件,即曲率是完全可积性的“障碍”。

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