可积系统初探:叶状结构和接触结构


我们介绍2个和数学物理紧密相关的概念:叶状结构和接触结构。

n维流形M上一个维数为n-k的/余维数为k叶状结构指的是局部坐标卡(U_i,\phi_i),使得转换函数\varphi_{ij}=\phi_j \phi_i^{-1}有形式\varphi_{ij}(x_i,y_i)=(x_j(x_i,y_i),y_j(y_i)),其中x_* \in \mathbb{R}^{n-k}y_* \in \mathbb{R}^k。子流形y_i=C称为U_i上的斑。斑在不同坐标卡之间自然地衔接,所得的极大连通子流形称为叶。

给定流形上处处非零的向量场,其积分曲线给出一个1维叶状结构。结合之前的讨论知1维叶状结构的拓扑障碍是唯一的:流形的Euler示性数。

将向量场推广为分布(切丛的n-k维子丛),得到叶状结构在可积系统中的刻画:

(Frobinius定理)分布\mathfrak{D}定义了某个叶状结构的充分必要条件是\mathfrak{D}是完全可积的,即\forall X,Y \in \Gamma(\mathfrak{D})[X,Y] \in \Gamma(\mathfrak{D})

\omega \in \Omega^*(M)零化\mathfrak{D},若\forall X \in \Gamma(\mathfrak{D})i_X(\omega)=0。不难证明\mathfrak{D}的零化子I(\mathfrak{D})局部上由k个线性无关的1-形式生成,且是\Omega^*(M)中的理想。Frobenius定理现在可对偶地表述为:\mathfrak{D}定义了某个叶状结构的充分必要条件是I(\mathfrak{D})是一个微分理想,即d(I(\mathfrak{D})) \subset I(\mathfrak{D})

更一般地,G-丛\pi:E \to B有自然的叶状结构,纤维X是这个叶状结构的叶。

40年代Reeb和Ehresmann在研究流形上的微分方程组时开始考察叶状结构。之后的突破包括:(1)构造S^3上余维数为1的光滑叶状结构(Reeb),并证明S^3上不存在余维数为1的实解析叶状结构(Haefliger);(2)证明3维流形上总存在余维数为1的叶状结构(Novikov, Wood);(3)证明S^3上余维数为1的叶状结构中存在同胚于T^2的紧叶(Novikov);(4)证明余维数为1的叶状结构存在的充分必要条件是流形的Euler示性数消失(Thurston);等等。

给定辛流形(M,\omega),过渡到等能集H(q,p)=E是Hamilton力学中常用的约化。另一方面,为研究非自治系统,需引入时间t并考虑流形M \times \mathbb{R}。我们从上述2个奇数维流形中抽象出接触流形的概念:

若流形M上的1-形式\alpha处处非退化且d\alpha\mathrm{ker}\alpha \in TM上的辛形式,则称其为接触形式。这要求\mathrm{ker}\alpha2n维分布,故M2n+1维的,此时接触形式有非常简单的刻画:\alpha \wedge (d\alpha)^n处处非退化。接触流形指的是(M,\xi),其中接触结构\xi是整体定义的2n维分布,在局部上由接触形式的核给出。

接触结构和叶状结构不相容:d(I(\mathfrak{\xi})) \cap I(\mathfrak{\xi})=\emptyset。称这样的分布为完全不可积的。

接触几何的创始人是Lie,他引入接触变换(Berührungs transformation,即保持接触结构的Lie群)来研究微分方程组。与辛几何相比,接触几何受到的关注要少得多,其复兴也是更为近代的事情,一个主要的推动力就是对3维几何与拓扑的研究。例如,Martinet证明了可定向3维紧流形上总有接触结构。我们讨论过辛几何中的平行结果:可定向闭曲面上总有辛结构。

以下是一些可以参考的介绍性材料:

Lawson  Foliations

Etnyre  Introductory lectures on contact geometry