Thurston的八正道 Ⅱ


我们已经完成了3维标准几何分类定理(a)的证明:满足齐性和各向同性的3维单连通空间仅有\mathbb{H}^3\mathbb{E}^3S^3。各种观测数据都支持空间的齐性和各向同性假设,故这3者可作为空间的理想模型,并对应宇宙演化的3种可能结局

现在不妨稍一驻足,对这3种几何做一些初步的考察。

欧氏几何M=\mathbb{E}^3:这是我们最熟悉的例子。G_x=\mathrm{O}(3)G=\mathbb{R}^3 \rtimes \mathrm{O}(3)有2个连通分支。T^3是欧氏几何的紧模型。

给定拓扑空间X和同胚映射f:X \to X映射环面X_f定义为X \times [0,1]模去等价关系(x,0) \sim (f(x),1)X_f是以S^1为底空间,X为纤维的丛。3维闭流形T^2_f称为环面丛。例如,环面丛T^2_\mathrm{id}=T^3

一般地,若f是有限阶同胚映射,即存在n使得f^n=\mathrm{id},则T^2_f是欧氏几何的紧模型。这一点可以从T^2_{f^n}覆叠T^2_{f}看出。

球面几何M=S^3G_x=\mathrm{O}(3)G=\mathrm{O}(4)有2个连通分支。以S^3为万有覆叠的所有流形都是紧致的。基于Perelman的重大突破,现在可以完全决定这些紧模型:一方面,这些流形的基本群显然是有限的。另一方面,Poincaré-Perelman定理指出S^3是仅有的单连通3维闭流形,故所有基本群有限的3维闭流形都以S^3为万有覆叠(这个命题又称为Thurston椭圆化猜想)。2个经典的例子是Poincaré同调球(基本群为双二十面体群)和透镜空间L(p;q)(基本群为\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})。

注记2

Poincaré同调球与Poincaré猜想有关。事实上,Poincaré最初的猜想是有平凡第一同调群的3维闭流形同胚于S^3,而Poincaré同调球是他自己找出的反例。这个例子兼有拓扑和代数两方面的趣味,下面用现代的观点做一讲解。

正十二面体/正二十面体的存在事实上是说\mathrm{SO}(3)有一个60阶的离散子群G(二十面体群)。熟知G同构于A_5。定义Poincaré同调球S=\mathrm{SO}(3)/G。注意到S^3\mathrm{SO}(3)的双层覆叠,故S=S^3/\tilde{G},其中\tilde{G}是双二十面体群。于是S不同胚于S^3。另一方面,由Hurewicz定理H_1(S)\pi_1(S)=\tilde{G}的Abel化,而A_5是不可解群,故H_1(S)是平凡的。由Poincaré对偶不难看出SS^3的所有同调群都相同,这解释了“同调球”这一名词的由来。

注记3

2003年,基于WMAP(Wilkinson微波各项异性探测器)的观测数据,4位宇宙学家与低维拓扑学家Weeks合作,提出宇宙的整体拓扑结构可能是Poincaré同调球。

双曲几何M=\mathbb{H}^3G_x=\mathrm{O}(3),借助Lorentz模型不难看出G=\mathrm{O}^{+}(1,3),有2个连通分支。这是数学上最复杂而物理上最有趣的情形,紧模型包括某些高度非平凡的对象如Seifert-Weber空间Weeks流形等。这些紧模型的非平凡性解释了为什么“负曲率对应开宇宙”(Myer定理的“反命题”)这一错误观点在宇宙学家中广泛流传。

注记4

可利用正十二面体构造Poincaré同调球和Seifert-Weber空间。将正十二面体的6组对面一一顺时针旋转\frac{1}{10}周后粘合,所得的拓扑空间即为Poincaré同调球。此时20个顶点被分为5个等价类,每个顶点角需要“膨胀”一点才能无缝粘合,这对应正曲率的情形;若将正十二面体的6组对面一一顺时针旋转\frac{3}{10}周后粘合,便得到Seifert-Weber空间。此时20个顶点互相等价,每个顶点角需要“收缩”一点才能无缝粘合,这对应负曲率的情形。

上述构造可推广到更一般的情形,尤其是在2维。我们推荐Weeks妙趣横生的著作

Weeks  The shape of space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds

如上所述,我们对带有双曲结构的3维闭流形的认识还未臻完备。但在这个方向上已积累了不少正面结果。例如,Thurston证明了若X是亏格大于1的闭曲面,则X_f有双曲结构当且仅当f伪Anosov映射

Thurston  On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces

已知的最好结果是由几何化猜想推出的:3维闭流形M有双曲结构当且仅当M不可约的非环状的(atoroidal),并有无限基本群。

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