Thurston的八正道 Ⅰ


八正道(the Eightfold Way)是佛家语。粒子物理学中有利用\mathrm{SU}(3)的8维自伴随表示描述介子和自旋\frac{1}{2}的重子的理论,称为Gell-mann的八正道。在3维流形理论中也有8种标准几何(model geometry),我仿照成例,称之为Thurston的八正道。

这个系列介绍与Thurston八正道相关的一些结果。主要参考文献是

Thurston  Three-dimensional geometry and topology

Thurston  Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry

W.Thurston(1946-  )

Thurston意义下的标准几何指的是流形M与作用在M上的微分同胚Lie群G,满足

(1)M连通且单连通;

(2)G的作用是可递的,且\forall x \in M的稳定子群是紧致的;

(3)G在所有满足(2)的群中是极大的;

(4)存在紧致的M'M为万有覆叠,M'称为此种几何的紧模型;

注意到(2)允许我们赋予M一个G-不变的完备Riemann度量使之成为齐性空间

注记1

2维标准几何是容易分类的。此时流形的Gauss曲率是常数,通过尺度放缩,不妨设为-1,0,1。另一方面,熟知仅有的带有常截面曲率-1,0,1(换言之,满足物理上各向同性要求)的单连通完备Riemann流形为\mathbb{H}^n\mathbb{E}^nS^n,对应双曲几何,欧氏几何和球面几何。

为分类3维标准几何,考虑G的单位元所在的连通子群G^*x的稳定子G_xM的单连通性保证了G^*_x=G^* \cap G_x是连通的,因而是\mathrm{SO}(3)的连通闭子群。此处只有3种可能:G^*_x=\mathrm{SO}(3)\mathrm{SO}(2)\{\mathrm{id}\}

Thurston证明了3维标准几何仅有如下8种:

(a)G^*_x=\mathrm{SO}(3)M\mathbb{H}^3\mathbb{E}^3S^3

这是注记1中所提到的结论的简单推论;

(b)G^*_x=\mathrm{SO}(2):此时M是以某个2维标准几何为底空间的纤维丛。与纤维正交的联络有曲率0或1,进一步的分类给出

(b1)曲率为0:M=S^2 \times \mathbb{E}^1\mathbb{H}^2 \times \mathbb{E}^1

(b2)曲率为1:幂零几何(\mathbb{E}^2为底)或\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})几何(\mathbb{H}^2为底);

(c)G^*_x=\{\mathrm{id}\}:可解几何;

(b)和(c)的证明及所涉及的几何的具体特性留待之后讨论。

回到拓扑的层面。以M^3记3维闭流形。注意,3维时拓扑流形,分片线性流形和微分流形这3个范畴是一致的。

M^3称为素流形,如果除平凡分解M^3=M^3 \# S^3M^3无法分解成3维流形的连通和。任意3维闭流形都可以(在同胚意义下)唯一分解为素流形的连通和。

Milnor  A unique factorization theorem for 3-manifolds

注记2

对2维的情况,熟知有更强的分类定理:所有闭曲面的同胚类是由T^2\mathbb{R}P^2\#下生成的交换半群,S^2是单位元。

素分解对应的几何操作是沿着S^2切开流形。进一步,可以沿环面将流形切得更“均匀”。

(Thurston几何化猜想) 任何可定向的闭的3维素流形都可以沿环面切开,使得每块切片带有上述8种标准几何结构之一。

Thurston对Haken流形证明了几何化猜想(但从未发表过完整的证明)。这个结果被称为双曲化定理,是他获得1982年Fields奖的原因之一。这一工作体现了惊人的几何直觉,以至于被戏称为Thurston怪兽定理。

Thurston  Hyperbolic structures on 3-manifolds Ⅰ:Deformation on acylindrical manifolds

注记3

我们曾讨论过简单得多的2维流形的几何化:无需切开流形,单值化定理直接保证了3种标准几何结构之一的存在。这是引导Thurston提出几何化猜想的主要线索之一。

注记1,2,3是互相联系的:2维流形唯一的拓扑不变量,即Euler示性数,通过Gauss-Bonnet定理控制了所有可能的几何。正如Thurston所说,3维流形研究的难点(同时也是有趣之处)是缺少这样有力的不变量。

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