拓扑学奇趣之Borsuk-Ulam定理


这是一篇轻松的小文章。题目借自一本不错的前苏联科普读物

拓扑学中既有成系统的大理论:同伦论,(上)同调论,广义(上)同调论,也有一些有趣的特殊结果。后者当然可以纳入前者的体系中,然而其主要价值在于足够简单——非数学家也能理解和运用,同时足够复杂——在现实世界中有非平凡的推论。著名的例子包括Brouwer不动点定理毛球定理以及我们将介绍的Borsuk-Ulam定理

(Borsuk-Ulam) 若f:S^m \to \mathbb{R}^m是连续映射,则存在x \in S^m使得f(x)=f(-x)

这个定理立刻推出:

1.直观上显然的,S^m不能嵌入\mathbb{R}^m

2.取m=2,得到一个有趣的结论:任意时刻地球上总有一对对径点处的温度和气压都相等。

3.火腿三明治定理:设\mathbb{R}^m中有m个可测开集A_1,A_2,\cdots,A_m,则存在超平面P将每个A_i等成等测度的2份。

为应用Borsuk-Ulam定理,只需按如下方式定义f:在\mathbb{R}^{m+1}中选择单位向量v。注意到v同时也定义了\mathbb{R}^{m}中的一张仿射超平面。记v指向的一侧与A_i的交集的测度为f_i(v),得到映射v \mapsto (f_1(v),\cdots,f_m(v))

Gromov的一个简单观察将此定理推广到多项式情形:n元且不超过d的多项式由\binom{n+d}{d}个参数决定。故给定\binom{n+d}{d}-1个可测开集,存在某个由不超过d次的多项式定义的超曲面将这些集合一一等分。

Gromov Isoperimetry of waists and concentration of maps

注记1:

下面2篇文章包含Borsuk-Ulam定理的一个证明(梗概),并介绍了多项式火腿三明治定理在Kakeya问题和Szemerédi-Trotter定理中的应用。

Tao The Kakeya conjecture and the Ham Sandwich theorem

Tao The Szemerédi-Trotter theorem via the polynomial Ham Sandwich theorem

如前所述,Borsuk-Ulam定理当然可以用拓扑学的标准工具证明。

考虑奇映射g:S^m \to S^n(对任意x \in S^m都有g(-x)=-g(x),即g保持对径点)。结合投影映射\pi:S^n \to \mathbb{R}P^ng诱导同调群的同态g_{*}:H_{*}(\mathbb{R}P^m,\mathbb{Z}_2) \to H_{*}(\mathbb{R}P^n,\mathbb{Z}_2)以及对偶的,上同调环的同态g^{*}

S^n上联结任意对径点的道路在投影\pi下成为\mathbb{R}P^n中不同伦于0的道路,记为ccH_1(\mathbb{R}P^n,\mathbb{Z}_2)中的非零元素,从而g(c)g^*(c^*)都不等于0。

熟知实射影空间的上同调环H^{*}(\mathbb{R}P^n,\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2[c^*]/[(c^*)^{n+1}]g^*是非平凡的环同态要求m \leq n

总结一下,存在奇映射S^m \to S^n的必要条件是m \leq n

最后,若Borsuk-Ulam定理不成立,则g:S^m \to S^{m-1}\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{|f(x)-f(-x)|}是奇映射,矛盾!

上述讨论给出Borsuk-Ulam定理的一个等价叙述:若连续映射f:S^m \to \mathbb{R}^m是奇映射,则存在x \in S^m使得f(x)=0

注记2:

事实上,上述讨论也足以推出Brouwer不动点定理。注意到对于奇映射g:S^n \to S^ng^*是上同调环的同构,因而g不同伦于常值映射。特别地,恒等映射id:S^n \to S^n不同伦于常值映射,这等价于Hirsch定理:不存在收缩D^n \to S^{n-1}保持S^{n-1}不变。

Jiří Matoušek有一本专著Using the Borsuk-Ulam theorem,可供参考。

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