从Witten形变看局部化定理


流形上整体量的计算常常可以化为在特定群作用下的不动点处的计算。Gauss-Bonnet定理的内蕴证明即用到了这一局部化的想法:曲率的积分等于向量场奇点的指数和。此外重要的例子还包括Bott留数公式以及Duistermaat-Heckman公式。Berline和Vergne,以及独立的,Atiyah和Bott(部分受到Witten启发),利用等变上同调理论给出了处理这类问题的统一框架。Witten还建议考察上述定理的无穷维类比,这引导Bismut找到了Dirac算子指标定理的概率论证明,并将其推广到处理一族椭圆算子的情形。我们来介绍这一系列进展。

本文的叙述主要参考了

Zhang  Lectures on Chern-Weil theory and Witten deformations

以下假定M是一个2n维的可定向光滑闭流形,且容许某个S^1-作用。S^1的紧性允许我们通过积分Riemann度量使其“均匀化”的方法定义一个S^1不变的g,从而在M上得到一个自然定义的Killing向量场K。回忆一下,K满足Killing方程

<D_X K,Y>+<D_Y K,X>=0,即线性映射X \mapsto D_X K是斜对称的。

注记1:

以下所有讨论均允许进一步的推广,例如,用高维环面代替S^1-作用。处理S^1这个最特殊的情形是为了避开等变上同调的一般理论。

等变上同调理论的出发点是外微分形式丛\Omega^{*}(M)上的Cartan魔术公式

\mathcal{L}_k=(d+i_K)^2=d i_K+i_K d

注意到\mathcal{L}_kLaplace-Beltrami算子非常类似:调和形式的类似物是\mathcal{L}_k-不变形式\Omega_K^*(M)=\{\omega \in \Omega^*(M):\mathcal{L}_k \omega=0\}。记Dirac算子d_K=d+i_K,则\{\Omega_K^*(M),d_K\}构成一个上链复形(Cartan复形),相应的H_K^*(M)称为S^1等变上同调群。

d_K-闭形式在流形上的积分可局部化为Killing向量场零点处的计算。2组数学家互相独立地提出了这一点。

Berline,Vergne  Zéros d’un champ de vecteurs et classes charactéristiques équivariantes

Atiyah,Bott  The moment map and equivariant cohomology

首先处理最简单的情形:若K没有零点,则对任意d_K-闭形式\omega\int_M \omega=0。以下借助Witten形变的证明属于Bismut。正如之前讨论过的那样,Witten形变是为局部化量身打造的工具。

取1-形式\theta使得i_X \theta=<X,K>对任意向量场X成立。不难验证\thetaK在Riemann度量下的对偶,从而是\mathcal{L}_k-不变的。简单计算表明,对任意耦合常数c

\int_M \omega=\int_M \mathrm{exp}(-c d_K \theta)\omega  (1)

注意到d_K \theta=d\theta+|K|^2\mathrm{exp}(-cd\theta)在有限项后截断,|K|有非零下界保证了c \to +\infty时(1)式右端以指数速度衰减,从而命题得证。

以下假定K的所有零点都是孤立的。在每个零点p处取标准化邻域使得g_{jk}=\delta_{jk}K=\sum \lambda_j(x^{2j}\frac{\partial}{\partial x^{2j-1}}-x^{2j-1}\frac{\partial}{\partial x^{2j}})。记\lambda(p)=\prod \lambda_j

注记2:

这里我们第一次用到M为偶数维的假设:这是零点孤立的必要条件。

(等变局部化定理)对任意d_K-闭形式\omega\displaystyle \int_M \omega=(2\pi)^n\sum_p \frac{\omega^{[0]}(p)}{\lambda(p)},其中\omega^{[0]}\in C^{\infty}(M)\omega的0阶分量。

证明仍利用典型的Witten形变技巧:考察c \to +\infty时(1)式的渐进行为。非零点处的退化性上面已经说明,需要做的仅仅是累加各个零点处的效应。

Bismut  Localization formulas, superconnections, and the index theorem for families

下面转向具体应用。

k个非负偶数m_l\sum m_l=n,并记\lambda^{m_l}(p)=\sum \lambda_j^{m_l}。考虑Levi-Civita联络的曲率F,局部化定理给出

(Bott留数公式) \displaystyle \int_{M}\prod \mathrm{tr}[F^{m_l}]=(2\pi i)^n \sum_{p} \frac{2^k \prod \lambda^{m_l}(p)}{\lambda(p)}

注意到这可立即应用于某些示性数的计算。

Bott  Vector field and characteristic numbers

给定辛流形(M,\omega),假定S^1-作用是Hamiltan的,即存在动量映射H \in C^{\infty}(M)使dH=i_K \omega。对d_K-闭形式\mathrm{exp}(iH-i\omega)应用局部化定理,得到

(Duistermaat-Heckman公式)\displaystyle \int_M \mathrm{exp}(iH)\frac{\omega^n}{n!}=(2\pi i)^n\sum_p \frac{\mathrm{exp}(iH(p))}{\lambda(p)}

\displaystyle \frac{\omega^n}{n!}是为相流所保持的标准体积形式,称为Liouville形式。上述公式指出其Fourier变换恰给出其稳相近似

Duistermaat,Heckman  On the variation in the cohomology of the symplectic form of the reduced phase space

Witten指出,对紧自旋流形的自由环路空间形式地“套用”Duistermaat-Heckman公式可得到Dirac算子的指标定理。这个想法经Atiyah宣讲后由Bismut严格化。这就是Dirac算子指标定理的概率论证明。

Atiyah  Circular symmetry and stationary-phase approximation

Bismut  The Atiyah-Singer theorems: a probabilistic approach 

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