灵魂定理与灵魂猜想


灵魂定理和灵魂猜想是Riemann几何中有趣的一章。我们拟简要介绍之。

以下假定开Riemann流形M连通,完备,且各点的各向截面曲率非负。1972年,Cheeger和Gromoll发表了如下定理的证明:

(灵魂定理) 存在某个完全凸且完全测地的紧致无边子流形S使得M微分同胚于S的法丛v(S)。这样的S称为M的灵魂。

2个术语:“完全凸”指连接任意2点的任意测地线都落在S中,对应的“局部凸”则指每点都有一个完全凸的邻域。一般地,Riemann流形的闭局部凸子集是自然的拓扑流形,其内部是完全凸的光滑流形。“完全测地”指的是S中的测地线均为M中的测地线,一个常用的充要条件是S的第二基本形式消没。

早期对Riemann几何的研究大多集中在紧流形上,灵魂定理的价值在于将一类非紧流形的研究化归为对紧流形的研究。

Cheeger,Gromoll  On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature

注记1:

上述论文事实上只给出了同胚性的证明。微分同胚性可利用h-协边理论得到。

Sharafutdinov  Proof of soul theorem

流形的灵魂一般不是唯一的:平坦欧氏空间给出一个显然的反例。然而我们有如下结果:

(Sharafutdinov) 任意2个灵魂等距同构。(这个命题的陈述几乎是Dostoyevsky式的)

Sharafutdinov对灵魂的研究依赖于一个重要操作:Sharafutdinov收缩。具体地说,他找到了保持距离不增的收缩映射\pi:M \to S。我们不打算给出\pi的具体构造。下面在介绍Perelman的结果时将借助几何直观简单地刻画\pi

Sharafutdinov  Convex sets in a manifold of nonnegative curvature

Cheeger和Gromoll能够证明:若开流形M的所有截面曲率均大于0,则S为单点,即M(微分)同胚于\mathbb{R}^n。证明可参见他们的原始论文,或

伍鸿熙 黎曼几何选讲

Cheeger和Gromoll猜想可以将条件减弱为“存在某点的各向截面曲率大于0”,即

(灵魂猜想) 若开流形M的截面曲率处处非负,且存在某点使得其各向截面曲率均大于0,则M微分同胚于\mathbb{R}^n

一个非常简单的例子是(3维空间中的)旋转抛物面与\mathbb{R}^2微分同胚。

1994年,Perelman给出灵魂猜想的一个极简洁的证明,从而一举成名。最后发表的论文仅有4页。据说Thurston在听完他在Berkeley的报告后惊呼:“这么简单,为什么我没有想到?”同年Perelman受邀在Zürich的国际数学家大会上宣讲这一结果。

Perelman指出Sharafutdinov收缩有如下性质:“垂直”地看,给定x \in Sx处的单位法向量v,测地线\mathrm{exp}_x(tv)完全落在纤维\pi^{-1}(x)中。记\pi_v: v(S) \to S,则\pi_v=\pi \circ \mathrm{exp},这意味着\pi(x)可定义为S中离x最近的点。“水平”地看,给定测地线\gamma(s)\subset S和平行单位法向量场v(s)\gamma_t(s)=\mathrm{exp}_{\gamma(s)}(tv(s))是一束测地线,曲面V(t,s)=\gamma_t(s)是平坦且全测地的。进而推知指数映射\mathrm{exp}:v(S) \to M是满射,Sharafutdinov收缩是Riemann流形的浸没。

Perelman将对Sharafutdinov收缩的认识大大推进了一步。至此灵魂猜想的证明已是唾手可得:若S的维数大于0,则对\pi(p)=qS中的运动可构造相应的包含p的平坦曲面,与p处各向截面曲率均大于0矛盾。

Perelman  Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll

注记2:

Perelman的结果立即推出\piC^1的。2005年Wilking证明了\piC^\infty的。

证明了灵魂猜想后,Princeton和Stanford等名校竞相邀请Perelman加盟。但他选择了返回俄国,潜心研究Ricci流的技术。后来的故事是大家都很熟悉的了。

注记3:

2003年曹建国和萧美琪找到了灵魂猜想的一个不依赖于Sharafutdinov收缩的新证明。

Cao,Shaw  A new proof of the Cheeger-Gromoll soul conjecture and the Takeuchi theorem

他们对注记2中的光滑性结果也提出了一个不同的证明。

Cao,Shaw  The smoothness of Riemannian submersions with nonnegative sectional curvature

5 thoughts on “灵魂定理与灵魂猜想

  1. GTR says:

    “Perelman指出Sharafutdinov收缩有如下性质”一节中\pi_v=\mathrm{exp}\circ\pi似应作\pi_v=\pi\circ\mathrm{exp}?

  2. hyh says:

    我对这里的 sign convention 有些疑问:Perelman 用的约定是和其他人相反的么?一般人说的都是截面曲率为负则 M 与 R^n 微分同胚。这是 Cartan 的定理:http://en.wikipedia.org/wiki/Sectional_curvature

    我觉得比较自然的还是截面曲率为负的这个约定,毕竟截面曲率在二维情形就是高斯曲率嘛。

    • 这是2条定理:假定M是连通且完备的Riemann流形,

      (Cartan-Hadamard) 非正的截面曲率推出M的万有覆叠微分同胚于R^n。2维的例子包括环面(万有覆叠为复平面C)及高亏格的Riemann面(万有覆叠为上半平面H)。这些都是基本的space form:
      http://en.wikipedia.org/wiki/Space_form

      (灵魂猜想/Perelman灵魂定理) 若开流形M的截面曲率处处非负且至少在某一点为正,则M微分同胚于R^n。 2维的例子包括旋转抛物面。S^2是紧致的,故不是灵魂猜想的反例。

      二者并不矛盾。

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