有关辛流形的一个小问题


潘略同学问起月余没有更新的事,惭愧。

这次谈一个小问题——扩充之前一篇文章的注而已——然而却是自己花了一点功夫想过之后才查看了文献,也算有一点价值。

这个问题很基本:哪些流形可赋予辛结构?

对Riemann度量来说,这不成问题。关键在于所有正定二次型构成一个凸集,因而简单地应用单位分解把局部Riemann度量粘合起来,即可说明任何流形都可赋予一个整体Riemann度量。

对付辛结构就要稍费一点功夫了。首先流形必须是偶数维的。这是一个局部的要求:在每点的切空间处化交错型都可以化为标准型,由此立即看出奇数维的交错型必然是退化的,这是线性代数中的一条定理,和整体拓扑并不相干。如果不仅仅考虑一个点而是考虑一个邻域,那么上述化交错型为标准型的过程(在可积性条件d\omega=0下)成为Darboux定理

流形也必须是可定向的。这是因为作为非退化形式的辛形式,其幂也都是非退化的,从而\omega^n成为2n维流形上的体积形式。

1.\mathbb{R}P^n无一可赋予辛结构:\mathbb{R}P^n可定向当且仅当n为奇数。

2.所有可视为余切丛的流形都有自然的辛结构,这包括了最平凡的例子如\mathbb{R}^{2n}和稍不平凡的例子如圆柱面(单摆的相空间)。在分析力学里可以找到其他更复杂的例子。

3.对于所有2维可定向紧流形,上述问题的回答都是肯定的:取体积形式即可。

不过我偏好的思考方式如下:首先赋予一个复结构使其成为Riemann面,这对任何可度量化的曲面都是可以做到的。由Urysohn定理,我们甚至可以将对曲面的要求放宽至第二可数,这包含了我们关心的绝大多数例子。

在Riemann面上引入一个Hermite度量,其虚部当然非退化,且作为一个2维流形上的2-形式必然是闭的,这就给出我们需要的辛结构。

注1:这事实上是说所有Riemann面都是Kähler流形。对高维复流形这当然不成立。已知紧复曲面为Kähler流形的充分必要条件是第一Betti数为偶数(Lamari, 1999; 独立地,Buchdahl, 1999),这囊括了某些早期结果,例如K3曲面是Kähler流形(萧荫堂, 1983)。

注2:Kähler流形包含了一些常见的辛流形的例子,如复球体B^n。不过并非所有的辛流形都是Kähler流形。紧致情况下的第1个反例由Thurston给出。后继的研究表明非Kähler的辛流形才是典型的。

4.对于高维流形,据我所知没有简单的判则。

一类必要条件源自示性类:所有殆辛流形都容许殆复结构,因而Chern类的整性给出额外的障碍。

对紧流形来说,另一个来自可积性的必要条件是上同调群H^{2k}(M)非平凡,k=0,1,\cdots,n。这是因为若\omega^k=d\Omega,则\int \omega^{n}=\int d(\Omega \wedge \omega^{n-k})=0,这与\omega^n是体积形式矛盾。

特别地,对n>1S^{2n}均不能赋予辛结构。阿早和我提过这个结论,似乎是去年丘赛的压轴题。

5.给出一些充分条件也不是太难。基本想法是将若流形可视为某个已知辛流形的子流形或商流形,则只需说明辛形式的限制非退化即可引入辛结构。这一过程称为辛约化。

特别地,\mathbb{C}^n=\mathbb{R}^{2n}有自然的辛结构,其又在\mathbb{C}P^{n-1}上引入辛结构 。由此推出所有Stein流形和代数簇上都有辛结构。这包括了一些常见的例子如复环面(Abel簇)。

注2:更一般的推理是:Kähler度量可由复子流形继承,故Stein流形(嵌入\mathbb{C}^n)和代数流形(嵌入\mathbb{C}P^n)都是Kähler流形。

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