Witten形变:从Hodge理论到Morse理论


在未来的历史学家看来,Witten发表于1982年的论文Supersymmetry and Morse theory或许标志着“量子数学”的开端。在这篇文章中,Witten

(1)给出了Hodge理论的物理解释:某种超对称量子力学模型;

(2)发展了Witten形变的技术,指出Morse理论应视为Hodge理论的强耦合极限,从而给出了Morse不等式的新证明;

(3)利用量子隧穿效应重新解释了Thom-Smale的Morse同调理论,其场论类比直接导向Floer同调;

(4)用Witten形变考察了“广义Morse理论”(Poincaré-Hopf定理),并暗示了用类似手段可以证明指标定理;

E.Witten (1951-  )

Supersymmetry

最简单的超对称结构是超代数\Bbb Z_2分次代数A=A_0 \oplus A_1(分别对应Boson和Fermion)。等价地,也可以假定A上赋有对合自同构\theta\Bbb Z_2分次对应特征空间分解:\theta A_i=(-1)^i A_ix \in A_i称为A的齐次元素,其次数i记为|x|

超代数有一个Lie超代数的结构:[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx

A上的线性算子同样构成超代数:偶算子保持A_i(与\theta交换),奇算子对调A_i(与\theta反交换)。一个超对称量子模型指的是算子族(H,Q_i):(1)H代表系统的Hamilton量。它必须是偶算子:[\theta,H]=0(Fermion和Boson守恒);(2)奇算子Q_i代表Boson和Fermion间的超对称,要求[Q_i,Q_j]=0[H,Q_i]=0(超对称“守恒”)。

下面提供一个最简单的超对称量子力学模型:紧Riemann流形M上的所有L^2可积的复微分形式\Omega(M)在如下内积下构成Hilbert空间:\displaystyle <\alpha,\beta>=\int_{M}\alpha \wedge *\overline \beta \ dV_gp-形式可以理解为pFermi子的量子态,内乘\mathfrak{i}_\omega外乘\mathfrak{i}_\omega^*(作为伴随算子)表示Fermion\omega湮灭和产生。

现在将偶数个Fermion视为Boson\Omega(M)成为超代数。进一步取Q_1=d+d^*Q_2=i(d-d^*)H=Q_1^2=Q_2^2为Laplace-Beltrami算子\triangle。作为自共轭算子,它们的谱代表了可观测物理量的特征值。特别地,由Hodge定理p基态(量子真空)的能级简并度等于Betti数b_p——流形的拓扑自然地进入了超对称量子力学。

Witten deformation

给定M上的Morse函数h耦合常数c,定义Witten形变d_c=e^{-hc}de^{hc}\triangle_c=(d_c+d^*_c)^2(\triangle_c为Hermite算子要求h取实值)。共轭作用不改变算子的谱,故Witten形变保持\mathrm{dim}\, ker\,\triangle_c:调整耦合系数不改变量子真空态的简并度b_p

注意到ker\,\triangle_c=ker\,d_c \cap ker\, d_c^*d_c=d+c\mathfrak{i}_{dh}。Witten考察了强耦合极限下的ker\,\triangle_c:令c \to \infty\mathfrak{i}_{dh}成为绝对主项。在h的常点附近,“调和形式”趋于ker\, \mathfrak{i}_{dh} \cap ker\,\mathfrak{i}_{dh}^*,其“振幅”必须趋近于0;只有在临界点处,才能保持原有的“振幅”。

上述考察可以利用(局部)渐进分析严格化:在临界点x的小邻域中依Morse引理选取标准正交坐标系,\displaystyle \triangle_c=\sum_i(-\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}+c^2 x_i^2+c\lambda_i[\mathfrak{i}_{x_i}^*,\mathfrak{i}_{x_i}])+O(c^3)\lambda_i=\pm 1。我们以p记临界点x的指数:p=\#\{i:\lambda_i=-1\}

算子\displaystyle -\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}+c^2 x_i^2[\mathfrak{i}_{x_i}^*,\mathfrak{i}_{x_i}]对易。故能级的主项可以直接计算出来:

\displaystyle c\sum_i(1+2N_i+\lambda_i n_i)+O(1),N_i=0,1,2,\cdots,n_i=\pm 1

x处不发散的能级仅有1个:N_i=0\lambda_i n_i=-1。简谐振子的能级非简并,故这个不发散的能级对应1个本征态。展开[\mathfrak{i}_{x_i}^*,\mathfrak{i}_{x_i}],不难看出\# \{i: n_i=1\}=p意味着此本征态是p-形式。以m_p记指数为p的临界点个数,则m_p可以解释为在强耦合极限下保持能量(局部)有界的p粒子态空间X_p的维数。

显然,X_p包含所有(整体)量子真空态,故m_p \geq b_p(弱Morse不等式)。

Morse homology

我们进行稍精细一些的考量:给定上链复形(X_p, D)并以m_pX_p的秩,弱Morse不等式和强Morse不等式都可以从极简单的同调代数得到。问题在于,拓扑和几何中的复形常以无穷维向量空间的形式出现(例如de Rham复形),m_p甚至不是良定义的。Witten形变提供了将这些复形“局部化”为有限维复形的技巧:例如,将\Omega^p局部化为除在h的指数为p的临界点外在整个流形上均消没的“p形式”。

D当然是d_c的强耦合极限,但D也可以具体构造出来:注意到临界点对应势能c^{2}(dh)^2的极小值(势阱),Witten考虑了“相邻”势阱间的量子隧穿。此处“相邻”意味着指数相差1。具体地说,从临界点xy的隧穿轨道(瞬子)\gamma是场dh中的最速降线。对每条\gamma赋予n_\gamma=\pm 1,并定义n(x,y)=\sum_\gamma n_\gammaD\psi_x=\sum_y n(x,y)\psi_y:利用Witten形变,Witten重新发现了Thom-Smale的Morse(上)同调理论。

事实上,将n(x,y)解释为特定的相交指数,上述讨论也可视为某个Lefschetz型不动点定理。详情参见Witten的文章,以及

Atiyah, Bott   A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes: II. Applications

(4)取代恰当形式dh,Witten用完全类似的想法对一般的闭形式\omega考虑了系统的强耦合极限,这导致Poincaré-Hopf定理的证明。Witten指出这应该视为简化版的指标定理

事实上,Morse理论、Lefschetz不动点定理和Poincaré-Hopf定理的联系在经典框架下是已知的。Witten的贡献在于提供了一个全新的观点:Witten形变。

注记

这里举出几个后续的发展,也为我自己提供一份相关文献的备忘录。

追随Witten的想法,Floer利用量子隧穿/瞬子对3维流形的路径空间定义了以他命名的同调类。

Floer  An instanton invariant for 3-manifolds

Atiyah的文章讨论了Floer工作(以及Donaldson在4维流形方面工作),其物理解释则由Witten给出:

Atiyah  New invariants for 3 and 4 dimensional manifolds

Witten  Topological quantum field theory

利用Witten形变的技术,Witten从Donaldson不变量导出Seiberg-Witten不变量

Witten  Monopoles and four-manifolds

我们曾提到过,Arnold猜想可以视为Morse不等式/Lefschetz不动点定理在辛几何中的类比。辛流形的Floer同调理论参见

Floer  Morse theory for Lagrangian intersection

Witten  Topological sigma models