分析力学的几何观点:Hamilton力学与辛几何


我不知道这是否算是一种盲目的信仰:上帝是用几何设计世界的——毕竟,这一教条的首倡者是伟大的Einstein,而他的拥趸也都是一时名流:Penrose,Yang,等等(某种意义上,甚至包括对哲学不太感兴趣的Witten)。

我的目标要小得多:逐步厘清这一论断中“几何”的所指,包括几何量的物理意义和不同几何理论的数学特征。简单而基本的例子来自分析力学。

熟知构型空间V余切丛T^{*}V可视为力学系统的相空间,其上带有非退化的(0,2)型张量(2-微分形式)\omega=dp^{i} \wedge dq^{i}。特别的,\omega是闭的:\omega=d(p^{i}dq_{i})

余切丛是分析力学中辛流形的范本(Kähler流形则是复几何中辛流形的范本,其辛结构由Hermite度量的虚部给出)。

注记1

Darboux定理指出辛流形总是局部平坦的,而Riemann流形有额外的障碍(Riemann曲率张量)。这说明辛流形的刚性较Riemann流形为弱,因此辛几何也常称为辛拓扑。

与Riemann度量\rm g不同,并非所有(偶数维可定向)流形都容许一个辛结构。例如,对于闭流形,\omega的非退化性要求H^{2}(M)非平凡。然而\omega\rm g也有不少相似性:

1)\omega诱导余切丛到切丛的微分同胚i(依赖于切丛上的Riemann度量。此处\omega的非退化性是关键的)。

给定相空间上的Hamilton函数H,向量场idH称为Hamilton向量场,其诱导的单参数微分同胚群h^{t}:T^{*}V \to T^{*}V称为Hamilton相流。H代表总能量时,控制系统演化的常微分方程即经典的Hamilton方程

2)辛同胚(保持\omega的微分同胚,物理上称为正则变换)构成(无限维)Lie群(准确地说,伪群)\mathcal{S},相应的Lie代数\mathfrak{s}(由辛向量场构成)是辛流形M上向量场Lie代数的子代数。

注记2

Riemann流形的刚性体现在其等距群总是有限维的,绝大多数情况下是平凡的。

相流保持辛结构,即:h^t是一族辛同胚。

所有Hamilton向量场构成的Lie代数\mathfrak{h}\mathfrak{s}的理想。一般地,辛向量场有形式i\Omega\Omega是闭1-形式,故dim\ \mathfrak{s}/\mathfrak{h}等于流形的第1Betti数

Hamilton场的Lie代数诱导物理量\{A\}的Lie代数,此时Lie括号称为Poisson括号

\{A,B\}=\mathcal{L}_{idB}A=\omega(idA,idB)

Hamilton方程现可写为正则形式:\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,H\}

由此推出Noether定理自治系统中,物理量A守恒当且仅当\{A,H\}=0。用Jacobi恒等式不难证明Poisson定理:2个守恒量的Poissson括号仍是守恒量。

特别地,相流保持H,此为能量守恒。

注记3

Hamilton力学的正则形式在量子化后成为量子力学的Heisenberg表象

\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{1}{i\hbar}[A,H]

Noether定理和Poisson定理也依然成立。

Hamilton场是无散场,因而相流保持体积/测度,此即著名的Liouville定理(与不可压缩流体类比是有启发性的)。更精细地,Poincaré证明了相流保持\omega^k(绝对积分不变量)。

注记4

Liouville定理提供了保测变换的典型例子,从而开启了遍历理论的研究。这方面的第一个结果是Poincaré回复定理

2n维辛流形的子流形M'称为Lagrange流形,如果dim\ M'=n\omegaM'上恒为0。构型空间V是相空间T^{*}V的Lagrange子流形。更一般地,对于V上的(多值)函数S\displaystyle p^i=\frac{\partial S}{\partial q^i}图像T^{*}V的Lagrange子流形。我们将专文讨论这一构造与几何光学的联系。

Lagrage流形的定义只取决于辛结构,因此:

1)给定辛同胚s,可构造对应的Lagrange流形s(V)。这一对应将Lagrange流形范畴化

2)h^{t}M'给出一族Lagrange流形。对于充分小的th^{t}M'微分同胚于M'。长期演化则可能出现非常复杂的特征。对这类问题的考察给出量子力学的准经典近似(类比物理光学几何光学的关系),在数学上则可应用于振荡积分渐进理论

Hörmander  Fourier integral operators.Ⅰ

一个密切相关的问题是研究余切丛的Lagrange子流形到底空间的投影映射(称为Lagrange映射)的奇性。1972年,Arnold发现Lagrange映射的奇点分类问题与Coxeter群有关。这一联系的深层机理至今尚未得到彻底的理解。

以上内容可参考Arnold Mathematical methods of classical mechanics Appendix 11,12以及16。

此书的Appendix 9讨论Poincaré最后定理。Arnold将这个不动点定理的一般情形描述为对Lagrange子流形相交数的下界估计。具体地说,对于紧致的V和“典型”的h^tt充分小,h^{t}VV微分同胚且横截相交,此时交点的个数是有限的。Arnold进一步猜想下述Morse型不等式成立:交点个数不小于V的Betti数之和。此即著名的Arnold猜想

Floer从无限维Morse理论的角度研究此问题,建立了Floer同调理论。

注记5

Arnold推广Poincaré最后定理的方式类似于Lefschetz不动点定理Brouwer不动点定理的推广。注意到Lefschetz不动点定理(结合Poincaré-Hopf定理)的陈述是:交点的代数个数(视定向计入正负)等于V的Euler示性数(Betti数的交错和)。Arnold猜想说明辛流形的刚性较一般的微分流形为强。

V.I.Arnold (1937-2010)

历史概述

“Symplectic”来自希腊语中的”complex”,最早由Weyl采用,局部理论的研究由Lagrange、Hamilton和Jacobi奠定基础,整体几何的研究则可以上溯到Poincaré。60年代至70年代,苏联学派的工作推动了辛几何研究的复苏,Kirillov的轨道方法更将辛几何应用到表示论的研究中。美国学派的主要代表是2组数学家:Marsten-Weinstein和Guillemin-Sternberg。1985年,Gromov关于伪全纯曲线的工作改变了辛几何的发展方向。随后发展出的Gromov-Witten不变量,Floer同调等工具,使辛几何进入理论物理和低维拓扑的研究,成为90年代炙手可热的“显学”。

5 thoughts on “分析力学的几何观点:Hamilton力学与辛几何

  1. wang says:

    不知道你对分形几何怎么看

    我也坚信物理规律是几何的 而且是分形几何的

    • wang says:

      唉 现在很多杰出的数学家都不怎么来研究分形

      我很希望多一些数学家来研究分形

      一个简单的例子

      在连续函数中 不可微函数才是主体 是绝大多数 而现在的几何 只关心可微甚至光滑的的“一小撮”

      如果粒子的运动轨迹是不可微的 该如何描述?

      Hamilton力学与辛几何这一套该如何推广?

    • 其实研究这个的数学家不少。话说回来,据我所知,用分形作为“新几何”的基础在目前只能算是一种dogma,虽然fancy,但似乎没有决定性的证据证明那是“对”的?

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