流体力学的基本问题和基本模型


流体力学与电动力学有不少似是而非的相似性。但不应忘记,电动力学是基本理论的组成部分,而流体力学只是一个唯象理论:我们尚无力应对自然的全部复杂性,所有已知的模型都是简单性与客观性的折衷产物。即使如此,真正具有客观描述力的流体力学模型仍比电动力学模型复杂得多。我们将要看到这方面最著名的例子:Navier-Stokes方程。

\rho记流体密度,v记流速,p记流体压强,\mathfrak{f}记流体内部的粘滞力,F记作用在流体上的其他外力。质量守恒给出流体连续性方程\displaystyle \nabla \cdot (\rho v)+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0

此时Newton第二定律的类比物即Navier-Stokes方程

\displaystyle -\nabla p+F+\mathfrak{f}=\rho(\frac{\partial v}{\partial t}+v \cdot \nabla v) (1.1)

非线性项v \cdot \nabla v表示对流加速度。记旋度\nabla \times v=\omega,则

\displaystyle v \cdot \nabla v=\omega \times v+\frac{1}{2}\nabla v^2

Navier-Stokes方程并未囊括所有流体力学:只有对\rho可视为常数的不可压缩流体,这一方程才给出真正有效的描述。这意味着Navier-Stokes方程不适用于研究声波和航空动力学。然而,在气象、洋流以及大量应用问题中,Mach数<0.3,此时流体可以认为是不可压缩的,Navier-Stokes方程成为理想的近似模型。此时连续性方程化为

\nabla \cdot v=0  (1.2)

Ideal fluid

20世纪之前,大部分研究集中在\mathfrak{f}=0的情形。这种不考虑粘性的模型被称为理想流体。应用中F常由势场\Phi给出,此时Navier-Stokes方程化为Euler方程

\displaystyle -\nabla p-\nabla \Phi=\frac{\partial v}{\partial t}+\omega \times v+\frac{1}{2}\nabla v^2 (2.1)

p+\Phi+\frac{1}{2}v^2=\mathcal{C}。对于稳流(\displaystyle \frac{\partial v}{\partial t}=0),取v与(2.2)的内积,\displaystyle v \cdot \nabla \mathcal{C}=0,即沿着流线\mathcal{C}保持不变,此即著名的Bernoulli定律。如果稳流同时还是无旋的(\omega=0),那么\mathcal{C}处处相等。

对(2.2)取旋度,得到仅与v相关的方程\displaystyle \frac{\partial \omega}{\partial t}+\nabla \times (\omega \times v)=0——满足Euler方程的初始无旋流体将始终无旋,这和现实严重冲突。以上矛盾说明理想流体是一个过分“理想”的模型,von Neumann甚至不客气地讥讽其为“干水”。

Existence and smoothness

下面转向对粘滞性的考量。对于不可压缩流体,\mathfrak{f}=\mu \triangle v,常数\mu>0称为粘滞度。\nu=\mu/\rho称为动粘滞度,对于水/空气,\nu大约在10^{-6}/10^{-5} m^2/s左右。

七大千禧数学问题之一是对下述方程证明解vp全局存在性及光滑性

\displaystyle -\frac{\nabla p}{\rho}+\nu \triangle v=\frac{\partial v}{\partial t}+v \cdot \nabla v (3.1)

(3.1)定义在\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^{+}上(特别是n=3)。除(1.2)外,物理上的要求还有:

1)初始条件:v(x,0)=v_{0}(x);

2)解在无穷远处不发生破裂:Fv_0速降函数

3)动能始终有界:\displaystyle \int_{\mathbb{R}^n} \frac{1}{2}v^2 dx<C\forall t \geq 0

对于Euler方程(\nu=0),类似问题也尚未解决。

有趣的是,n=2的情形已得到严格的处理。Navier-Stokes方程确实对维数敏感:3维情形将带来本质上的困难。在这一点上它和另一个已获解决的千禧问题Poincaré猜想类似。

以下2位师兄弟的文章,Fefferman代表Clay数学研究所给出对这一千禧问题的官方叙述,Tao则讨论了进攻这一问题的可能途径:

Fefferman    Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation

Tao     Why global regularity for Navier-Stokes is hard

Turbulence

量纲分析指出流体的行为在尺度收缩下的变化由无量纲常数\mathrm{Re}=\rho vL/\mu完全控制:

\displaystyle -\nabla p+\frac{1}{\mathrm{Re}} \triangle v+F=\frac{\partial v}{\partial t}+v \cdot \nabla v

我们称\mathrm{Re}Reynolds数

(1)\mathrm{Re} \sim 10^0:此时流体是典型的层流

(2)\mathrm{Re} \sim 10^1:随着Reynolds数的增大,系统出现第一个分岔,第二个分岔……临界值\mathrm{Re}_1 <\cdots<\mathrm{Re}_n<\cdots迅速收敛(事实上,临界值间隔的比值趋于Feigenbaum常数)。

(3)\mathrm{Re}>\mathrm{Re}_\infty:此后流体的运动出现称为湍流的奇异特征。这使得寻找控制Navier-Stokes方程解的全局不变量变得非常困难。

不能免俗地引用一段经典对白作为结束:

有人问Heisenberg,如果他有机会对上帝提问,他会问些什么。Heisenberg答:“为什么会有相对论?为什么会有湍流?我确信祂能回答第一个问题。”

P.S. For a general problem list, see here.

4 thoughts on “流体力学的基本问题和基本模型

  1. wang says:

    两套东西的形式相似性你并没有提及啊

    可以把非粘性流体力学方程 改造成 maxwell-like

    不过你似乎对背后的物理并不感兴趣 我就不多说了

    另外,三维空间为什么特别,可否开个题目多说一下?

    比如Navier-Stokes方程确实对维数敏感:3维情形将带来本质上的困难。在这一点上它和另一个已获解决的千禧问题Poincaré猜想类似

    其实我是想以此为启发 理解为什么真实空间是三维的

    • 我所知道的3维空间的特别性质都是技术上的,谈不上“本质”。

      一个是在讨论Maxwell方程的时候一开始就提到的,2-形式和1-形式的对偶。换成矢量分析的语言,只有在3维空间才会有定义好的叉积/旋度。2维的情形“旋度”退化成标量场,湍流变成平面上的漩涡,复杂性大大下降(事实上Hawking讨论过真实物理空间不能是2维的一个理由:它简单到不能满足人择原理)。一个你可能比较熟悉的例子是用复变函数论处理流体,3维的时候没有类似的工具。

      另一个有趣的讨论方式是考察实数域上的可除代数:仅有实数、复数和四元数,说明特定维数的拓扑/几何是很特殊的。用Yang-Mills理论可以证明4维空间有无穷多个微分结构。那已经属于我不大了解而心向往之的东西了。

      Poincare猜想的情形涉及到Riemann几何中技术性的部分。3维的时候,Ricci张量恰好可以控制Riemann张量,在更高的维数则出现更多的额外变量。因而随着维数的升高,Ricci流的用处急剧减小。

      我想现实空间之所以是3维的,根本的原因还得从几何上找。这不也符合Einstein的哲学么?

    • wordpress平台默认用$两头框住,中间用“latex”起头,再插入需要的命令就可以了:)

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