局部紧群上的Fourier分析


Atiyah在谈到20世纪的数学时举出了几个趋势:从有限维到无穷维,从交换到非交换等等。Peter-Weyl定理保证拓扑群G的所有不可约表示都是有限维的,这绝对依赖于G的紧性,故可以视为一个“非交换却有限”的结果。如果我们限定G是交换的,作为补偿,可以将对G的紧性要求放宽为局部紧性。此时得到的理论推广了经典意义下的Fourier分析。特别的,整个类域论和自守形式理论都可以包括到这个框架里来(这方面的奠基性工作可以参考Tao Tate’s proof of the functional equation)。研究其非交换推广是当前数学的核心,这一研究涉及Langlands纲领,表示论,算子代数乃至数学物理等广阔的领域。

以下限定讨论的拓扑群G是局部紧的Abel群。此时G的所有不可约酉表示都是1维的。称这样的\chi:G \to U(1)G的特征。G的所有特征在逐点乘法下成为Abel群,在紧-开拓扑下这个Abel群是局部紧的,记为\hat G,称为G的对偶。

性质1 如果G是可分的,则\hat G是可度量化的;

性质2 如果G是紧的,则\hat G是离散的;

(Pontryagin对偶){\hat G}的对偶与G有一个典范同构:x\mapsto \{\chi \mapsto \chi(x)\},使得x(\chi)=\chi(x)

特别地,性质1和性质2的逆命题成立。

\hat{G}^{*}\hat{G}单点紧化,以C_{0}(\hat{G})\{f \in C(\hat{G}^{*}):f(\infty)=0\}C_{0}(\hat{G})在一致范数下成为C*-代数

G上存在Harr测度\mu,依此定义Fourier变换F:L^{1}(G) \to C_{0}(\hat G)f \mapsto \hat f\displaystyle \hat f(\chi) =\int _{G} f(x)\overline{\chi(x)}d\mu(x)。易见\parallel F \parallel \leq 1

注记1

\hat f(\infty)=0Riemann-Lebesgue引理保证。

可以在\hat G上引入对偶测度\hat \mu。对\hat f \in L^{1}(\hat G),我们有Fourier逆变换F^{*}:L^{1}(\hat G) \to C_{0}(G)\displaystyle f(x)=\int_{\hat G}\hat f(\chi)\chi(x)d\hat{\mu}(\chi)

L^2内积下,F^{*}F的伴随算子:<F(f),g>=<f,F^{*}(g)>。在C_{c}^{\infty}(G)上,F^{*}F=id

(Plancherel) F可以扩充为L^{2} (\hat G)上的酉算子。

Banach空间L^{1}(G)卷积*下成为Banach代数。Fourier变换将L^{1}(G)上的卷积转化为C_{0}(G)上的逐点乘法:\widehat{f*g}(\chi)=\hat{f}(\chi)\hat{g}(\chi),将L^{2}(G)上的逐点乘法转化为卷积:\widehat{fg}(\chi)=\hat f *\hat g(\chi )

经典Fourier分析讨论G=\mathbb{R}^{n}的情况。我们首先举出一类便于研究的函数。

f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{C}f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})为速降函数,若对\forall \alpha,\beta \geq 0|x|^{\alpha}D^{\beta}f(x)有界。所有速降函数构成的函数空间S(\mathbb{R}^{n})称为Schwartz空间

S(\mathbb{R}^{n})L^{p}(\mathbb{R}^{n})(1 \leq p < \infty)和C_{0}(\mathbb{R}^{n})中稠密,在逐点乘法、卷积和Fourier变换下封闭,且F可以唯一扩充为L^{2}(\mathbb{R}^{n})上的酉算子。这使得Schwartz空间成为进行Fourier分析的理想场所。

例子1 Poisson求和公式

f \in S(\mathbb{R}^{n}),定义F:(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^{n} \to \mathbb{C}F(x+\mathbb{Z}^{n})=\sum_{i \in \mathbb{Z}^{n}}f(x+i)

\forall \chi \in \mathbb{Z}^{n},我们有\hat {F}(\chi)=\hat{f}(\chi),从而得到Poisson求和公式

\sum_{p\in \mathbb{Z}^{n}}f(p)=\sum_{q\in \mathbb{Z}^{n}}\hat{f}(q)

Poisson求和公式在非交换情形下推广为著名的Selberg迹公式

例子2 Heisenberg不确定性原理

波函数\psi \in S(\mathbb{R}),定义位置算子X和动量算子P如下:

X\psi(x)=x\psi(x)\displaystyle P\psi(x)=\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{dx}\psi(x)

作为L^2内积下的Hermite算子,XP代表量子力学中的可观测量。它们互相共轭FX=PF,且满足对易关系\displaystyle [P,X]=\frac{1}{2\pi i}

对Hermite算子A\overline A=<\psi,A\psi>代表可观测量的期望。我们有不等式:

\displaystyle \parallel A\psi \parallel_{2}\parallel B\psi \parallel_{2} \geq \frac{1}{2} |\overline{[A,B]}|

Hermite算子\Delta A=A-\overline A代表可观测量的偏差,[\Delta A, \Delta B]=[A,B]

将上述讨论应用于\Delta X\Delta P,即得到不确定性关系:

\displaystyle \parallel \Delta X\psi \parallel_{2}\parallel \Delta P\psi \parallel_{2} \geq \frac{1}{4\pi}

注记2

我们再次举出Tao的讲义作为相关内容的参考

Tao  The Fourier transform

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