Laplace算子与紧Lie群的表示论


研究Laplace算子的性质是Weyl数学工作的主题之一。Weyl在Dirichlet问题上的开创性想法奠定了现代偏微分方程理论的研究方向,同一想法也可以用来证明紧Riemann流形/紧复流形上的Laplace算子的谱定理。这一谱分解应用到紧Lie群的表示论中,就得到著名的Peter-Weyl定理。我们来讨论这一联系。

我们假定讨论的拓扑群G是Hausdorff的。G忠实地(左)作用于自身,故可将其视为齐性空间。我们进一步假定G是局部紧的。此时G上存在(左)不变的Haar测度\mu。这允许我们在G上展开积分理论,从而为讨论G的表示提供了有力的技术工具。

G的表示指的是连续同态\sigma:G \to GL(V)V为(复)Hilbert空间,GL(V)装配有算子拓扑。我们对\sigma的讨论将通过一系列化归来完成。

一般表示化归为酉表示:给定G的表示\sigma: G \to GL(V)(, )V上的内积,定义<x,y>=\int_{G}(\sigma(g)x,\sigma(g)y)d\mu(g)。不难看出<,>\sigma(G)-不变的,故通过重新定义内积<,>可使Im(\sigma) \subset U(V)。以下默认\sigma是酉表示。

V=L^{2}(G)g \in G诱导L^{2}(G)上的算子T_g:T_gh(x)=h(g^{-1}x)\mu的不变性保证T_g是酉算子。我们称\pi: g \mapsto T_gG的(左)正则表示。

\sigma化归为\pi:定义T: V \to C(G)T(y)(g)=<y,\sigma(g)x>x \in V。将T扩充到L^2(G),此时有T\sigma(g)=\pi(g)T。由于\sigma\pi都是酉表示,\sigma(g)T^{*}=T^{*}\pi(g)。若W \subset L^{2}(G)\pi (G)-不变的,则T^{*}W \subset V\sigma (G)-不变的。如果对\pi有足够的了解,我们同时也获得了\sigma的信息。

关键性的事实是:对于紧致的G,正则表示\pi 可以分解为有限维表示的直和。

(Peter-Weyl Ⅰ)成立正交分解L^{2}(G)=\oplus W_kW_k\pi (G)-不变的,dim W_k<\infty

证明:紧群G上存在一个G-不变的Riemann度量。以\triangle记此度量下的Laplace-Beltrami算子。在C^{\infty}(G)\triangle与所有T_g交换,故\triangle的特征子空间是\pi(G)-不变的。于是\triangle谱定理提供了所需的正交分解。

注记1

L^{2}(G)G-不变子空间W,由G的紧性知\pi(G)|_{W}是Lie群GL(W)的闭子群。由Cartan定理,\pi(G)|_{W}也是Lie群。由于G忠实地作用在L^2(G)上,这推出任何紧拓扑群都可实现为Lie群的逆向极限,从而回答了紧致情形下的Hilbert第5问题(von Neumann, 1929)。

对于局部紧拓扑群的推广称为Gleason-Yamabe定理(Yamabe,1953):

连通的局部紧拓扑群是Lie群的逆向极限。

参见Tao在下面这篇文章中的讨论:

Tao   van Dantzig’s theorem

注记2

下面这篇文章包含Peter-Weyl Ⅰ的另一个证明,并讨论了其与Fourier分析的联系:

Tao  The Peter-Weyl theorem, and non-abelian Fourier analysis on compact groups

最后,所有有限维表示都是完全可约的,即可写为不可约表示的直和。这是因为若W是不变子空间,则W^{\bot}也是不变子空间,依此对表示的维数进行归纳即可。

综上,我们得到了

(Peter-Weyl Ⅱ)对紧群G在Hilbert空间V上的表示\sigma,成立正交分解V=\oplus V_kV_k\sigma(G)-不变的且不可约,dim V_k<\infty

我们转向另一个紧密相关的话题:矩阵系数。

考虑局部紧群G的不可约表示\sigma_k:G \to V_k。函数m_{xy}^{\sigma_k}(g)=<y,\sigma_{k}(g)x>称为\sigma_k的矩阵系数。记所有矩阵系数的集合为M(G)\{V_k\}的直和与直积在M(G)上诱导加法与乘法。不难验证M(G)C(G)中的含幺*-代数。

假定G是紧致的。若对\forall \sigma_k\sigma_k(x)=I,由Peter-Weyl  Ⅱ,对\forall \sigma\sigma(x)=I,即x=e。这说明紧群G的所有不可约表示分离G中的点。由此不难证明M(G)分离G中的点。由Weierstrass-Stone定理,M(G)C(G)中稠密。

事实上我们有

(Gelfand-Raikov)局部紧群G的所有不可约表示分离G中的点。

因而上述关于矩阵系数的讨论可以推广到局部紧群上。

选取V的一组正交基,则相应的矩阵系数成为L^{2}(G)的一组正交基。对于具体的G,这些正交基给出经典的特殊函数和正交多项式。

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