有理域上的代数曲线 Ⅳ


对数域K上的代数曲线\mathfrak{C},以\mathfrak{C}(K)\mathfrak{C}上的所有K-有理点。第3章说明了若\mathfrak{C}是二次曲线,则|\mathfrak{C}(K)|=0|\mathfrak{C}(K)|=\aleph_1,并有具体判则(Minkowski-Hasse定理)。现在我们考察K上的椭圆曲线\mathfrak{E}

环面(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^2有自然的Abel群结构。作为亏格为1的紧Riemann面,可以用其将椭圆曲线\mathfrak{E}:y^2=ax^3+bx^2+cx+d参数化,从而诱导一个Abel群结构。

如果将\mathfrak{E}嵌入到射影平面PK^2,则这个Abel群结构得到优美的几何解释:

1)\mathfrak{E}与无穷远直线的交点O是Abel群的零元;

2)对R=(x,y)-R=(x,-y)

3)对P,Q,过P,Q的直线与\mathfrak{E}交于第3点R,则P+Q=-R

O \in \mathfrak{E}(K),由以上几何构造及Viete定理不难说明\mathfrak{E}(K)是Abel群,称为椭圆曲线\mathfrak{E}的Mordell-Weil群。

1908年,Poincaré在论文中猜想\mathfrak{E}(\mathbb{Q})是有限生成的。Mordell证实了这一猜测。结合有限生成Abel群的结构定理,可以将结论叙述为:

(Mordell, 1922) \mathfrak{E}(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}^r \oplus GG为有限Abel群。

\mathfrak{E}(K)成立同样的结论。

L.Mordell (1888-1972)

通过将\Bbb Q嵌入\Bbb Q_p,可以证明\mathfrak{E}(\mathbb{Q})的挠元均为整点(Nagell-Lutz定理)。近代的重大进展是对\mathbb{Q}上的\mathfrak{E}决定了所有可能的G (Mazur, 1977):

(i)\mathbb{Z}/ n \mathbb{Z}1 \leq n \leq 10n=121

(ii)\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/ 2n \mathbb{Z}1 \leq n \leq 4

这个方向上已知的最佳结果是:存在仅取决于d的常数N,使得对任意d次数域KK上的任意\mathfrak{E}\mathfrak{E}上任意K-有理挠点的阶数均整除N2

r称为椭圆曲线的秩。我们对r的了解非常少。一个猜想是\mathbb{Q}上的\mathfrak{E}的秩可以任意大。这与Silverman猜想(以cs(k)记表k为立方和的方式数,Silverman猜想cs(k)可任意大)相关。在函数域\mathfrak{E}(\mathbb{F}_{q}(T))上的类比猜想已被Shafarevich和Tate证实。

此外,我们还有著名的Birch和Swinnerton-Dyer猜想:记L_{\mathfrak{E}}(s)K上椭圆曲线\mathfrak{E}的Hasse-Weil L函数,则r=\text{ord}_{s=1}L_{\mathfrak{E}}(s)。对r=0,1我们已有了肯定的结果(Kolyvagin, Wiles, Taylor etc.),r>1尚无进展。参见Wiles为这一Clay研究所千禧问题所作的官方介绍:

Wiles  The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

亏格g>1的曲线上没有群结构,因而需要引入新的想法考察\mathfrak{C}(\mathbb{Q})(Faltings, Vojta, etc.)。另一方面,作为椭圆曲线的高维类比,在Abel簇X上推广Mordell定理要相对容易一些。这是Weil博士论文的主题:

(Weil,1928) 对任意数域KX(K)是有限生成的Abel群。

我们将给出Mordell-Weil定理的一个现代证明。

最后我们简要地讨论一下和找寻有理点紧密相关的找寻整点问题。Pell方程理论提供了二次曲线上有无穷多个整点的例子。对亏格大于0的\mathfrak{C},应用Thue-Siegel-Roth定理于\mathfrak{C}的Jacobi簇,结合Mordell-Weil定理得到:

(Siegel, 1929) \mathfrak{C}上至多有有限多个点\in (O_K)^2O_KK的代数整数环3

特别地,\mathbb{Q}上亏格大于0的代数曲线上至多有有限个整点。椭圆曲线的情形是最重要的,因为在g>1时,已知更强的Mordell猜想成立。


  1. 反过来,由经典模曲线理论,定义在\Bbb {C}上的、有N阶挠元的椭圆曲线的模空间(moduli)为模曲线X_1(N)=\Gamma_1(N)\backslash \Bbb HX_1(N)有亏格0当且仅当1 \leq N \leq 10N=12,此时模曲线上有无穷多个有理点,也即,有无穷多条定义在\Bbb Q上的椭圆曲线拥有N阶挠元。 
  2. 当前研究的热点是此定理在Abel簇上的推广及其几何版本,参见
    Bakker, Tsimerman THE GEOMETRIC TORSION CONJECTURE FOR ABELIAN
    VARIETIES WITH REAL MULTIPLICATION 
  3. 算术几何的指导思想之一是考察Diophantine逼近与Nevanlinna理论的平行性。有趣的是,Siegel定理在Riemann面上的平行结果正是我们证明过的Picard定理:若\overline{S}是紧Riemann面,S \subset \overline{S}|\overline{S}/S|>2,则全纯的f:\mathbb{C} \to S必为常数。这一平行性的解释以及2个定理的高维推广,参见
    Levin  Generalizations of Siegel’s and Picard’s theorems 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s