有理域上的代数曲线 Ⅲ


我们将\mathbb{Q}_p\mathbb{R}=\mathbb{Q}_\infty通记为\mathbb{Q}_v

寻找二次曲线上的有理点是最古老的数论问题之一。具有整数边长的直角三角形对各大古文明来说都是神秘的对象。发现“勾三股四弦五”之后,一个自然的问题就是找出曲线x^2+y^2=1上的所有有理点。到Diophantus时代,这一问题已被希腊人完满地解决:所有有理点均有形式(\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2},\frac{2uv}{u^2+v^2})u,v \in \mathbb{Z}

一个有启发性的构造方法如下:考虑xy平面上的单位圆。(1,0)是圆上显然的有理点。取过(1,0)的割线u(x-1)+vy=0,由于斜率\in \mathbb{Q},与圆方程联立后我们得到一个有理系数的二次方程。由Viete定理,此直线与圆的另一个交点必然是有理点。反之,连接两有理点的直线,其斜率当然是有理数。因此用上述方法可以构造出所有有理点。

我们事实上已说明了如下事实:若\mathbb{Q}上的二次曲线上存在有理点,则存在无穷多个有理点,并可以显式构造出来。另一方面,例如曲线3x^2-y^2=1上就不存在有理点。故问题的关键在于对一般的二次曲线给出有理点存在的判则。

这一问题在18世纪由Legendre解决。我们用现代数论中“局部-整体”的语言叙述结果如下:ax^2+by^2=1\mathbb{Q}上有解当且仅当其在每个\mathbb{Q}_v上有解。

上述Legendre定理中的必要性是显然的:\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_{v}。回忆第1章中阐述过的与代数函数域的类比,这相当于说:每个代数函数从局部上看都是代数的。充分性则允许我们将局部的信息整合成整体的信息。这也为我们考虑数论问题提供了一个一般的思路:先在局部域中研究,再将局部域的结果整合到整体域中。

ax^2+by^2=1\mathbb{Q}_p上的求解归结于二次剩余的计算。一般地,若ax^2+by^2=1有解\in \mathbb{Q}_v^2,约定Hilbert符号(a,b)_v=1,否则(a,b)_v=-1。Hilbert符号是\mathbb{Q}_v^{*}/(\mathbb{Q}_v^{*})^{2}上的非退化双线性形式。整体上,Hilbert指出(a,b)_v=1几乎处处成立,且二次互反律等价于\prod_{v}(a,b)_v=1。这一类型的结果在形式上与Cauchy留数公式类似。

局部域之间也有不少类似的性质。利用这些相似性,我们可以把\mathbb{R}中的几何直观迁移到\mathbb{Q}_p的研究上。p-进分析往往比实分析更简单一些。例如,在\mathbb{R}的情形,Newton法是利用Taylor展开求方程近似解的有力工具。Hensel研究了Newton法的p-进类比,发现往往能够得到多项式方程的精确解。

在多变元的情形,我们有

(Minkowski)a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\dots+a_{n}x_{n}^{2}=1\mathbb{Q}上有解当且仅当其在每个\mathbb{Q}_v上有解。

我们进一步考虑两方面的推广。一方面,用数域代替\mathbb{Q},对其整数环的每个素理想考虑相应的局部域,Hasse证明了类似的“局部-整体”的结果仍然成立。这种“局部-整体”的思考方式也称为Hasse原理。

另一方面,对于高次曲线需要引入新的研究方法。例如,Selmer证明了3x^3+4y^3=-5在每个\mathbb{Q}_v上有解但在\mathbb{Q}上无解。下一章我们讨论高次曲线的一个重要特例:椭圆曲线。

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s