Hodge理论 Ⅱ


本章勾勒Hodge定理的证明,并说明Hodge定理实则是算子\triangle的谱定理。

本章的证明部分取自

伍鸿熙   黎曼几何选讲

椭圆算子正则性的证明参看

Narasimhan     Analysis on real and complex manifolds

de Rham的书中也有一个对Hodge定理的证明。特别是,他给出了积分算子G的显式表示。

de Rham   Variétés différentiables

C^{\infty}(M)上的内积(f,g)_{S}=\sum_{|\alpha| \leq S} \int_{M}D^{\alpha}fD^{\alpha}g诱导范数\parallel \centerdot \parallel_{S}。依相应的度量将C^{\infty}(M)完备化为Sobolev空间W_{S}(M)。我们有Sobolev链

\dots \subset W_{S}(M) \subset \dots \subset W_{1}(M) \subset W_{0}(M)=L^{2}(M)

\OmegaC^{\infty}(M)-模,记\Omega_{S}=W_{S}(M)\otimes \Omega\mathcal{H}_{S}^{p}\mathcal{H}^{p}\Omega_{S}中的闭包。第1章中的所有算子都可以扩张到\Omega_{S}上。同样我们有Sobolev链

\dots \subset \Omega_{S} \subset \dots \subset \Omega_{1} \subset \Omega_{0}

(Rellich引理)自然嵌入i:\Omega_{1} \to \Omega_{0}是紧算子。

此结论由\mathbb{R}^{n}中的Rellich引理“拼接”而成,其成立依赖于M的紧性。

\Omega上定义内积[f,g]=((d+d^*)f,(d+d^*)g)=(\triangle f, g),诱导半范数| \centerdot |。我们来厘清\Omega上4个(半)范数\parallel \centerdot \parallel\parallel \centerdot \parallel_{0}\parallel \centerdot \parallel_{1}| \centerdot |之间的关系。

不难发现\parallel \centerdot \parallel \sim \parallel \centerdot \parallel_{0}\parallel \centerdot \parallel_{0} \leq \parallel \centerdot \parallel_{1}

(Gårding不等式)\forall f \in \Omega| f|^{2} \geq C_{1}\parallel f \parallel^{2}_{1}-C_{2}\parallel f \parallel^{2}_{0}

| \centerdot |(\mathcal{H}^{p})^{\perp}上的范数。由Rellich引理和Gårding不等式,可推出在(\mathcal{H}^{p})^{\perp}| \centerdot | \sim \parallel \centerdot \parallel_{1}。我们将| \centerdot |扩充为(\mathcal{H}_{1}^{p})^{\perp}上的范数。

以下关于椭圆算子正则性方面的结果是证明的关键:

Weyl引理f \in \Omega_{1}g \in \Omega。若对\forall h \in \Omega(h,g)=(\triangle h,f),则f \in \Omega\triangle f=g

现在着手证明Hodge定理Ⅰ。

f \in\mathcal{H}^{p}。由Gårding不等式,\parallel f \parallel_{1} ^{2}\leq C_{1}^{-1}C_{2}\parallel f \parallel_{0}^{2}。取极限过渡到\mathcal{H}_{0}^{p},由Rellich引理推出\mathcal{H}_{0}^{p}中单位球是紧的,故dim\mathcal{H}^{p}=dim \mathcal{H}_{o}^{p}<{\infty}

Hodge分解相当于说嵌入\triangle:(\mathcal{H}^{p})^{\perp} \to (\mathcal{H}^{p})^{\perp}是映满的。由Weyl引理,只需对每个g \in (\mathcal{H}^{p})^{\perp}找到f \in (\mathcal{H}_{1}^{p})^{\perp}使得对\forall h \in (\mathcal{H}^{p})^{\perp}(h,g)=(\triangle h,f)。定义泛函L: (\mathcal{H}^{p})^{\perp} \to \mathbb{R}Lh=(h,g)。我们有估计

|Lh|\leq \parallel g\parallel \parallel h \parallel \leq C_{3}\parallel g \parallel\parallel h \parallel_{1}\leq C_{4}\parallel g \parallel| h |

L|\centerdot|有界。用Hahn-Banach定理将L扩充到(\mathcal{H}_{1}^{p})^{\perp}上,再用Riesz表示定理即可找出我们需要的f。注意这依赖于(\mathcal{H}_{1}^{p})^{\perp}的完备性。

最后证明G\Omega_{0}^{p}上的紧算子。显然只需对(\mathcal{H}_{0}^{p})^{\perp}证明即可。对f \in (\mathcal{H}^{p})^{\perp},有\parallel Gf \parallel_{1}^{2}\leq C_{5}\parallel \triangle Gf \parallel \parallel Gf \parallel\leq C_{6}\parallel f \parallel \parallel Gf \parallel_{1}\parallel Gf \parallel_{1}\leq C_{6}\parallel f \parallel

注意到\parallel \centerdot \parallel \sim \parallel \centerdot \parallel_{0},取极限过渡到(\mathcal{H}_{0}^{p})^{\perp},用Rellich引理即可证明G的紧性。

Hodge定理描述了\triangle对应特征值0的谱分解。对积分算子G应用Hilbert空间上自伴随紧算子的谱定理,我们得以刻画\triangle的非0特征值:其均为正实数,唯一聚点在无穷远处,每一个特征值对应一个有限维的特征子空间,(\mathcal{H}_{0}^{p})^{\perp}是这些子空间在L^{2}意义下的正交直和。又由椭圆算子的正则性,所有特征向量均\in (\mathcal{H}^{p})^{\perp},进而得到(\mathcal{H}^{p})^{\perp}的正交分解。

至此我们已完整描述了\triangle的算子谱。将偏微分方程转化为积分方程,利用积分算子的紧性讨论微分算子的谱,这正是泛函分析的源头之一。

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