Dirichlet问题:从Riemann到Weyl


本文是一篇历史注记。

Laplace算子\triangle最早出现于势论的研究中:3维空间中反平方力的势场h满足\triangle h=0。数学家称这样的h为调和函数。19世纪的物理学家已知道金属球壳上的电势分布确定球壳内部的电势分布,从中抽象出所谓的Dirichlet问题:

\Omega\mathbb{R}^n中边界光滑的有界区域,f\overline{\Omega}上给定的光滑函数,求\overline{\Omega}上的调和函数h使得h=f\partial \Omega上成立。

\Omega为圆盘时,Dirichlet问题的解由著名的Poisson公式给出。一般情形的求解则远为复杂,此时甚至连解的存在性(在数学上)都成疑问。

物理事实为数学家提供了灵感:\triangle h=0的解使得能量泛函E=\frac{1}{2} \int_{\Omega} |\nabla h|^{2}取到极值,因而可以将Dirichlet问题的求解归结到一个变分问题。我们用数学语言叙述思路如下。

在线性空间C^{\infty}(\overline{\Omega})上定义内积:

<f,g>=\int_{\partial \Omega}fg+\int_{\Omega} \nabla f \cdot \nabla g\lVert f \lVert^{2}=<f,f>.

考虑子空间G=\{g \in C^{\infty}(\overline{\Omega}):g|_{\partial \Omega}=0\},H=\{h \in C^{\infty}(\overline{\Omega}): \triangle h=0\}。Dirichlet问题即寻找h \in \{f+G\}\cap H。利用Green公式不难证明G \perp H,因而如果满足条件的h存在,则\lVert h \lVert=inf\{\lVert \tilde{h} \lVert: \tilde{h} \in f+G\}。于是Dirichlet问题化为f+G上的变分问题。

1849年,Riemann提出所谓的Dirichlet原理,即上述变分问题总是有解的。将解析函数看做特定的场分布,他用这一原理研究几何函数论,“证明”了著名的Riemann映射定理。然而几年之后,Weierstrass以反例说明一般情况下的变分问题未必有解,Dirichlet原理也因而被数学界搁置了近半个世纪。

在此期间,对Dirichlet问题的研究取得了很大进步。C.Neumann将Dirichlet问题化为齐次积分方程求解,从而引出了Fredholm的著名工作。Poincaré发展了称为“扩去法”的技术, 重复利用圆盘情形下的解构造一般的解。1899年,Hilbert通过定义适当的极小化序列证明了Dirichlet原理,使Riemann的解法得以严格化。Perron提出了利用下调和函数的解法,在概念上这可能是最初等的方法。

Hilbert之后,对Dirichlet原理的研究成为Göttingen学派的传统:Courant用其来研究偏微分方程,Koebe和Weyl则用其来研究Riemann面。“Dirichlet问题的最后一座里程碑”(Gårding语)是Weyl在1940年的论文The method of orthogonal projection in potential theory。本文的余下部分将解释Weyl的思想并说明其如何奠定了现代椭圆型偏微分方程理论的基础,并深刻影响了复流形与Riemann流形的研究。

Weyl注意到内积空间C^{\infty}(\overline{\Omega})并不完备,于是将其完备化为Hilbert空间V \subset L^{2}(\overline{\Omega})\overline{G}GV中的闭包,Weyl转而在f+\overline{G}上求解变分问题。此时解h的存在性由Hilbert空间的完备性保证,且不难证明对任意g \in G\int_{\Omega}h\triangle g=0。如果h足够光滑,分部积分即可证明\triangle h=0,从而Dirichlet问题得解。然而,由于我们是在L^{2}(\overline{\Omega})中求解,“弱解”h可能是极度不光滑的。Weyl的主要贡献在于证明了如下的Weyl引理:如果\int_{\Omega}h\triangle g=0对任意g \in G成立,则可推出h的光滑性。

Weyl的想法演化成现代椭圆型偏微分方程求解的一般思路:第一步,在完备函数空间中找一个“弱解”,用泛函分析的手段建立解的存在性;第二部,利用光滑性引理,证明求得的“弱解”足够光滑(正则性),从而是“真解”。寻找“弱解”的想法是Sobolev空间理论和分布理论的先驱。事实上,Weyl考虑的Hilbert空间V即为Sobolev空间W^{1,2}(\Omega)。正则性使得我们得以刻画一类非常重要的算子:称有C^{\infty}系数的线性微分算子P为次椭圆的,如果对广义函数fPf=gg光滑蕴含f光滑。所有椭圆算子都是次椭圆的。Laplace算子是最基本的一例。另一个熟知的例子是Cauchy-Riemann算子:\overline{\partial} f=0蕴含f是光滑的。

对于微分形式,分布的类似物是de Rham定义的“流”。这在Hodge理论中是重要的技术性工具。在这里,Weyl的想法再次证明了其价值:和他的前辈Riemann一样,Hodge对Hodge分解定理的证明是不完备的,这一漏洞由Weyl用“正交射影法”加以弥补。Hodge理论和Weyl的“正交射影法”,经小平邦彦创造性的运用,成为超越代数几何中不可或缺的工具。1954年,Weyl在介绍小平获得Fields奖工作的时候,称“你所做的工作,和我年轻时就想做的紧密相关。但你的工作比我所能梦想到的还要漂亮。”

H.Weyl (1885-1955)

Atiyah称Weyl是他最敬佩的数学家。而他们两位则都是我的Heroes。

7 thoughts on “Dirichlet问题:从Riemann到Weyl

  1. WYQ says:

    Weyl is also a great physicist. His phase space analysis of quantum mechanics is superb, which still needs to be well-studied nowadays.

    • Well, it is often the case that physicists seldom recognize how much mathematicians contribute to their discipline. And vice versa!

    • 挺然兄好久不见。
      弱解的想法可以追溯到Fredholm、Hilbert等一干搞积分方程的人。Sobolev lemma(1935年前后)似乎也略早于Weyl。不过考虑椭圆算子的正则性的确是从Weyl lemma开始的。我不太清楚Leray在PDE方面的工作:)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s