有理域上的代数曲线 Ⅱ


本章是整个系列的纲领。此后提到数域K上的代数曲线\mathfrak{C}时,均假定\mathfrak{C}作为仿射曲线嵌入到仿射平面中。我们依据仿射坐标来谈论“整点”,“有理点”,等等。

我们已简要讨论过数域与复代数函数域的种种相似之处。由于我们主要采用代数描述,因而结论不仅对于复代数函数域成立,对于一般代数函数域也成立。我们特别关心的是\mathbb{Q}上的代数函数域及与之相伴的代数曲线上的有理点。这等价于研究Diophantine方程。

一个著名的例子是Fermat曲线x^{n}+y^{n}=1。数学家对其性质进行过大量考察,目标是证明当n>2时Fermat曲线上没有有理点。1994年,这一古老难题终于被Wiles解决,轰动一时。

我们将用亏格对代数曲线进行分类。紧Riemann面的亏格有很直观的解释:“洞”的个数。复代数曲线亏格的定义要抽象一点:记曲线上全纯微分构成的复线性空间为\mathfrak{H},则g=dim \mathfrak{H}。两种定义的一致性是Hodge定理的简单推论。另一种便于计算的定义方式是利用Hurwitz亏格公式,其将亏格与代数函数域域扩张的次数(对于Riemann面则是分歧覆叠的叶数)联系起来。不难算出Fermat曲线的亏格g=\frac{(n-1)(n-2)}{2}

根据万有覆叠空间的不同,我们将紧Riemann面分为g=0g=1g >13类来研究。类似的我们也将代数曲线分成3类:g=0g=1g >1

g=0的标准例子是2次曲线。对\mathbb{Q}上2次曲线\mathfrak{C}的有理点,我们有很完备的描述。首先,如果存在一个有理点p,所有经过p的斜率为有理数的直线与\mathfrak{C}的另一个交点必然仍是有理点,因而我们在\mathfrak{C}上找到了无穷多个有理点。有理点的存在性则是一个更加微妙的问题。中心结果是Minkowski-Hasse局部-整体定理。这涉及到\mathbb{Q}到p进域\mathbb{Q}_{p}的嵌入,我们将具体的讨论留到第3章。

g=1的标准例子是椭圆曲线\mathfrak{E}:y^2=ax^3+bx^2+cx+d,其中右端的3次方程没有重根。注意到g=1的紧Riemann面是环面,从而有自然的Abel群结构,通过参数化可以在\mathfrak{E}上引入Abel群结构。嵌入射影平面后,这一群结构有优美的几何解释。Poincaré在数论方面的工作不多,最重要的是他猜想\mathfrak{E}上的有理点是有限生成的Abel群。1922年,Mordell证明了这一事实,后世称之为Mordell定理。这一结果又被Weil进一步推广到对数域上的Abel簇成立。详细的讨论参见第4章。第5章和第6章将给出Mordell-Weil定理的证明。第7章讨论局部域上的椭圆曲线,及椭圆曲线的L函数。这是一个非常现代的课题,我们将遭遇Birch和Swinnerton-Dyer猜想以及Fermat大定理。

最后,对于g >1的曲线,Mordell猜想\mathfrak{C}上的有理点有限。这一猜想经久未决,成为这个领域的中心问题。1983年,时年仅29岁的Faltings利用Grothendieck发展的代数几何技术一举攻克了这一猜想,引起轰动。他也因此获得1986年度的Fields奖章。对这一成果我们无法深入讨论,而仅仅指出其在Fermat大定理方面的一个简单推论:对于n>3,Fermat曲线上至多有有限多个有理点。这是Fermat大定理研究中第一个对所有整数成立的结论(n=3的情形早在Euler时代已经了解)。Faltings的贡献由此可见一斑。

G.Faltings (1954- )

目前研究的热点是代数簇V上的有理点。例如,在Mordell猜想的基础上,Lang进一步猜想一般的双曲代数簇V上仅有有限个有理点。这方面的研究已发展成一个独立的领域,称为算术几何或Diophantine几何。

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