有理域上的代数曲线 Ⅰ


早在19世纪,代数数域与代数函数域的相似性已引起数学界的兴趣。而“复几何-代数几何-代数数论”三位一体格局的最终成型,则要归功于20世纪中叶Grothendieck的工作。这个系列并不涉及最一般的理论,而主要想讨论“三位一体”的1维情形。更具体地说,我们要以研究紧Riemann面的方法为借镜,考察有理域上的代数曲线。本系列也不拟深入讨论高亏格的曲线,而把注意力集中在亏格0和亏格1的曲线上——时到今日,后者仍是数论研究的核心领域。

A.Grothendieck (1928- )

我们先来初步考察一下复几何和代数数论的某些相似性,为今后的具体讨论做一点准备。
从最简单的情况看起。数论与复代数提供了含幺交换环的两个模本:\mathbb{Z}\mathbb{C}[X]。两者的相似性很早就被注意到:均为主理想整环,从而有唯一分解性。作为\mathbb{C}上的函数环,\mathbb{C}[X]中的任意元素均可以在某一复点处作“Taylor展开”(有限项),从而定义了复点与\mathbb{C}[X]的素/极大理想间的一一对应。这启发我们将环A的所有素理想收集在一起定义素谱Spec[A],进而将A视为Spec[A]上的“函数环”。例如\mathbb{Z}可以视为定义在所有素数上的“函数环”。可以在Spec[A]上定义拓扑,即所谓的Zariski拓扑。

注记:在一般情况下,素理想并不总是极大理想。我们之所以考虑素理想,是因为素理想有较好的“函子性”:给定环同态f:A \to BB中素理想的原像总是素理想,而极大理想的原像则不一定是极大理想。

研究解析函数局部性质的最有力方法是考察其在某点的Taylor展开。本着这一精神,我们希望定义整数在素数处的“展开”。这引出了“局部化”和“完备化”的想法。

局部化:\mathbb{Q}\mathbb{Z}的分式域。若我们把注意力集中到某个素数p“附近”,考虑所有形如\{\frac{a}{b}:b \nmid p\}的分数构成的环,则得到对应于素数p的分式环,可以类比在某点处全纯的有理函数环。上述定义可以推广到任意含幺交换环A及其素理想p上。

完备化:对于给定的某点,可以将多项式环嵌入到幂级数环中研究。尤其是,我们可以在\mathbb{C}[X]上定义拓扑,使得这一嵌入类似于从\mathbb{Q}\mathbb{R}的完备化。类似的,整数环\mathbb{Z}可以在素数p处嵌入到p进整数环\mathbb{Z}_{p}中,其上赋有由逆向极限诱导的p进拓扑。分式域\mathbb{Q}嵌入到分式域\mathbb{Q}_{p}中。亚纯函数在某点处零点/极点的重数也有自然的类比,称为\mathbb{Q}_{p}上的p进赋值。在\mathbb{C}P^{1}上考虑有理函数的性质更为整齐,与之平行地,我们将\mathbb{Q}\mathbb{R} 的嵌入类比于有理函数在“无穷远点”的展开。以上两种嵌入均称为完备化。用几何的语言,\mathbb{Q}称为整体域,素数p称为有限素点,\mathbb{Q}_{p}\mathbb{R}称为局部域。在代数数论的研究中,可取特定的代数数域为整体域,对每个素理想考察局部域的性质再整合为整体性质。这是现代代数数论的指导思想之一。

将复几何中的概念和工具引入代数数论,用几何语言来思考数是极富启发性的。我们再举几个例子:

考虑紧Riemann面的除子群并注意到紧Riemann面上的点对应代数函数环的素理想,其在代数数论中的类比是清楚的:Dedekind整环的分式理想群,分式理想可唯一分解为素理想。进一步,容易看出主除子和主分式理想相对应,于是得到关键的对应:除子类群-理想类群。理想类群同构于整体域极大非歧Abel扩张(对应的扩域即Hilbert类域)的Galois群。

从拓扑的角度看,我们知道紧Riemann面的除子类群和Picard群同构,于是将理想类群视为Picard群,层论和上同调的手段自然而然地进入了代数数论的研究。

另一方面,考虑紧Riemann面上的亚纯函数环并将代数函数环嵌入其中研究是分析中常用的手法。类比:将局部域收集起来定义其直积环,在几乎所有有限素理想处属于赋值环的元素构成一子环,称为整体域的adele环。其可逆元成群,称为idele群。紧Riemann面上的亚纯函数环自然和其除子群紧密相关。借助idele群我们也可以定义idele类群。idele类群是一个精细的对象,理想类群/除子类群都是它的商群。

考察idèle类群有技术上的便利:从局部到整体的过程可以借助经典分析的一整套想法。特别的,代数数论中的经典定理:理想类群的有限性和Dirichlet单位定理,均可以借此得到优雅的证明。和现代数论的巨大成就相比,这不过是代数几何思想的牛刀小试而已。

又例如,将代数函数域视为有理函数域的域扩张,此域扩张定义了某紧Riemann面到\mathbb{C}的分歧覆叠。在代数数论的情形,我们要考虑各式各样的Abel扩张,这些扩张导致部分素理想“分解”,这可以借助非分歧点处覆叠的几何图像来思考。此类现象早在17世纪已被注意到:Fermat发现奇素数p在Gauss整数环中能够进一步分解当且仅当p \equiv 1(mod4)。20世纪代数数论的一个重要成就是将素理想分解的规律系统地用Galois理论加以解释(Galois群类比于覆叠的单值群),进而发展出所谓的类域论。对非Abel扩张的研究则是当前的热点,这方面我们有称为Langlands纲领的指导性猜想。

5 thoughts on “有理域上的代数曲线 Ⅰ

  1. Grothendieck的照片下面的年齡介紹應該寫成(1928 - ),不用加問號。問號表示卒年不詳。。。

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