数学的未来


Poincaré有一句被反复引述的话:”To foresee the future of  mathematics, the true method is to study its history and its present state.”他当然是对的。

这些天我在读Weil的回忆录The apprenticeship of a mathematician.我也重读了Weil在1948年的文章The future of mathematics. 时值二战结束,这位Bourbaki的灵魂人物正处在他生涯的巅峰。同年他提出了对后世影响深远的Weil猜想。

要展望数学的未来绝非易事。公平地说,即使是Hilbert的23个问题也远谈不上“指导了20世纪数学的发展”——比如,他没能料到拓扑和几何在数学中的全面渗透。Hilbert认为他的第7问题(特定数的超越性)比第8问题(Riemann猜想、Goldbach猜想和孪生素数猜想)更难。然而他活着看到了第7问题的解决(Gelfond, Schneider independently, 1935)——我们能否活着看到第8问题中的任何一个被解决则仍是未知数。1948年的Weil认为离Hilbert第5问题的解决仍有相当的距离,然而在1953年就得到了完整的答案,Serre甚至认为这一领域已被一劳永逸地“杀死”了。

但无论如何,Weil的展望仍有其价值——价值在于提供了一个机会,让我们这些庸人得以一瞥大家的思考过程:如何把数学作为一个整体来考察,在各个分支的思想交流中敏锐地找出未来的生长点。或许并不让人意外,60年代数学的“爆发”在诸多层面上超出了Weil的预想——也有资料表明,Weil对Grothendieck的思想并不欣赏,甚至不无反感——但他强调的数论与复代数几何的互相借鉴仍然精准地指引了之后20年主流数学的发展,至1974年Deligne对Weil猜想的证明而达到高潮。Weil把握住了大方向。

《从模函数到单值化定理》论及的内容,不超过1912年数学界所知的程度(以Poincaré的逝世和Weyl的The concept of a Riemann surface的出版为标志)。然而在几个方向上,我们已经触碰到了现代数学的边缘。按照计划,在总结了19世纪的发展后,下一步是继续深入到20世纪的巨大进步里去。作为某种意义上的导引,Weil的这篇文章是值得一读的,故而做一个郑重的推荐。

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