从模函数到单值化定理 Ⅶ


Prologue:

…Here was a man who could work out modular equations and theorems… to orders unheard of, whose mastery of continued fractions was… beyond that of any mathematician in the world, who had found for himself the functional

equation of the zeta function and the dominant terms of many of the most famous problems in the analytic theory of numbers; and yet he had never heard of a doubly periodic function or of Cauchy’s theorem, and had indeed but the vaguest idea of what a function of a complex variable was…

——G.H.Hardy

S.Ramanujan (1887-1920)

站在旅程的终点,我们还想眺望一下远处的风景。Fuchs群PSL(2,\mathbb{Z})称为模群,它有丰富的算术性质。利用与模群相联系的自守形式来研究数论是一个强有力的方法,在本系列中我们无意深入这一极为广阔的领域。就当前的兴趣而言,考察模形式出于如下2个目的:1)揭示之前介绍过的系列对象之间的联系,以期形成一个较完整的印象;2)为“代数几何-复几何”处在纯数学研究的中心位置再添一个例证。

今后我们用\Gamma表示模群。\Gamma并非无挠地作用在\mathbb{H}上。具体地说,\Gamma中包含椭圆型元素S=\left({\begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&0\\ \end{array}}\right)T=\left({\begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1\\ \end{array}}\right),因而在上半平面带来3个椭圆型不动点i,\rho,\rho^{2}。事实上,\Gamma=<S,T;S^{2}=1,(ST)^{3}=1>,故它们也是仅有的不动点:i是2阶的,其余两个是3阶的。

我们可以定出\mathbb{H}/\Gamma的基本域(图中阴影部分)。由于\Gamma不是无挠的,在基本域上引入解析结构略显微妙,关键在于3个不动点处:对i用半个参数盘来覆盖,对\rho,\rho^{2}则分别用\frac{1}{3}个参数盘。加入i\infty\mathbb{H}/\Gamma进行紧化,由单值化定理,单连通的\overline{\mathbb{H}/\Gamma}解析同构于\mathbb{C}P^{1}

注意到\mathbb{H}/\Gamma正是椭圆曲线的模空间,故而对椭圆曲线定义的“数”成为\mathbb{H}/\Gamma上的“函数”:例如Eisenstein级数。更准确地说,在上半平面定义G_{k}(z)=\sum^{\prime}\frac{1}{(mz+n)^{2k}}。视其为特征为0的特殊Poincaré级数,有自守关系G_{k}(z)=J_{g}^{k}G_{k}(gz)g \in \Gamma。利用\Gamma的生成元可将自守关系改写为:G_{k}(z+1)=G_{k}(z)G_{k}(-1/z)=z^{2k}G_{k}(z)

引入几个一般的术语。满足上述自守关系的函数被称为权为k的弱模函数。如果其在i\infty处是亚纯的,则称为模函数。在上半平面处处全纯(包括无穷远点)的模函数称为模形式。在无穷远点取0值的模形式称为尖点形式。不难证明G_{k}(\infty)=2\zeta(2k)\zeta(z)为Riemann zeta函数,故Eisenstein级数为模形式。特别地,椭圆曲线的判别式函数\DeltaG_{2},G_{3}的多项式,计算表明\Delta(\infty)=0,故其为权为6的尖点形式。

以上例子是有典型意义的。事实上,Riemann-Roch定理给出:Riemann面上权为k的模形式构成一线性空间,其维数为(2k-1)(g-1)+kp+\sum[k(1-\frac{1}{e_{i}})],其中g为亏格,p为抛物型不动点的个数,e_{i}为每个抛物型不动点的阶数,[ x]表示对x取整。应用到当前的情况,知若k \equiv 1(mod 6),相应的函数空间为[k/6]维,否则为[k/6]+1维。特别的,在相差一个常数的意义下,G_{2}G_{3}是唯一的权为2的和权为3的模形式,继而用归纳法不难证明,所有模形式构成的分次代数同构于\mathbb{C}[G_{2},G_{3}]。这一结构性定理在模形式的研究中是很重要的。

所有权为0的模函数的结构也是清楚的:它们可以表为2个同权模形式的商。经典的例子是Klein考察过的j=G_{2}^{3}/\Delta。它定义了\overline{\mathbb{H}/\Gamma}\bar{\mathbb{C}}的双射。考察\bar{\mathbb{C}}的解析自同构群,容易证明任何一个权为0的模函数都是j的有理函数。

由于f(z+1)=f(z),故每一个模函数在原点附近都有一个亚纯的Fourier展开。研究系数的增长速率和系数间的代数关系在数论上有很重要的推论。我们将会对此略加说明。

对于尖点形式\Delta,其Fourier展开式有特别优美的形式:

(Jacobi) \Delta=(2\pi)^{12}q \prod (1-q^{n})^{24}q=e^{2\pi iz}

从椭圆函数论的角度可以给出一个想法很自然的证明。这也是Jacobi的原始证明。具体地说,Jacobi用以构造椭圆函数的theta函数,其Fourier展开有自然的周期性。我们需要做的,不过是用这些theta级数构造出\mathfrak{P}\mathfrak{P}^{\prime},由此即可得到\Delta的一个Fourier展开。

以上我们讨论了模函数在函数论方面的性质。对模函数数论性质的现代研究在多个方向上受到Ramanujan工作的启发。为了不偏离主题,我们仅勾勒历史发展的轮廓。

\Delta=\sum \tau(n)q^{n}\tau(n)称为Ramanujan函数。

1916年,经过大量数值计算,Ramanujan猜想:

a)Dirichlet L函数\sum\tau (n)n^{-s}可写成Euler积\prod (1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s})^{-1};

b)对素数p,|\tau(p)|<2p^{\frac{11}{2}};

c)对素数p,\tau(p) \equiv 1+p^{11}( mod 691);

Ramanujan猜想是历史上第一个用模形式定义Dirichlet L函数的例子。另一方面,借助代数几何中“位”的语言,可以对特定的代数簇定义L函数。对有理数域上的椭圆曲线,通过L函数建立“椭圆曲线-模形式”的对应(谷山-志村猜想)是成就Wiles对Fermat大定理证明的关键;

c)被Ramanujan本人证明。大量类似的同余关系出现在l进表示的理论中,不借助模形式通常是很难发现和证明的。

a)实际上是Ramanujan函数的函数方程的紧凑表达,在1917年被Mordell证明。为此Mordell定义了所谓的Mordell算子。这一想法在1925年被Hecke推广为Hecke算子,成为现代模形式理论的基本工具。

对于一般的权为k的尖点形式,b)的推广|c(p)|<2p^{\frac{2k-1}{2}}称为Ramanujan-Peterson猜想,它的重要性在于反应了相应L函数的解析性质。对有限域上的代数簇定义L函数,有类比Riemann猜想而提出的Weil猜想。1974年,Deligne证明了Weil猜想,作为副产品得到了Ramanujan-Peterson猜想的证明。他因此获得1978年的Fields奖章。

奇人Ramanujan对现代数论的影响不可谓不巨大。

为结束讨论,或许回到我们的出发点:模函数\lambda是合适的。模群的同余子群\Gamma_{N}由所有满足g \equiv id(mod N)g组成。类似的,我们可以定义对同余子群自守的模函数来考察同余子群的算术性质。我们不再展开讨论,而是给出一个熟悉的例子:\lambda是对\Gamma_{2}自守的模函数。

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