从模函数到单值化定理 Ⅵ


Prologue: …For fifteen days I strove to prove that there could not be any functions like those I have since called Fuchsian functions. I was then very ignorant; every day I seated myself at my work table, stayed an hour or two, tried a great number of combinations and reached no results. One evening, contrary to my custom, I drank black coffee and could not sleep. Ideas rose in crowds; I felt them collide until pairs interlocked, so to speak, making a stable combination. By the next morning I had established the existence of a class of Fuchsian functions, those which come from the hypergeometric series; I had only to write out the results, which took but a few hours….

——H. Poincaré

回忆曾证明过的:以\mathbb{H}为万有覆叠的Riemann面解析同构于\mathbb{H}/GG是某个无挠的Fuchs群。除球面和环面外的所有的紧Riemann面均属于这一类。这是我们当前感兴趣的情形,事实上也是唯一便于考察的情形。

我们从一般的特征开始。不难证明,3种典型的Mobius变换完全刻画了PSL(2,\mathbb{R})PSL(2,\mathbb{C})中的共轭类:

a)椭圆型:若tr^{2}(w)<4,则w共轭于旋转变换,在上半平面和下半平面各有1个不动点;

b)抛物型:若tr^{2}(w)=4,则w共轭于平移变换,在实轴上有1个不动点;

c)双曲型:若tr^{2}(w)>4,则w共轭于相似变换,在实轴上有2个不动点;

单值群中的非平凡元素是忠实作用的,因而不能是椭圆型的。抛物型元素共轭于z \mapsto z+1。考察曲线\gamma=\{x+iy:0 \leq x \leq 1\},其在S上的投影是一条非平凡的闭曲线。然而随着y \to +\infty,该曲线在Poincaré度量下的长度趋于0。紧Riemann流形上的非平凡闭曲线不能有任意小的长度,这说明:对紧的\mathbb{H}/GG中所有非平凡元素都是双曲型的。

GPSL(2,\mathbb{R})的离散子群,故只有可列个元素g_{j}。考察z_{0} \in \mathbb{H}的轨道z_{0},z_{1},...,z_{n}=g_{n}(z_{0}),...。“垂直平分”z_{0}z_{n}的Poincaré直线将上半平面划分为2个部分,取所有包含z_{0}的部分的交,得到一个双曲几何意义下的“凸多边形”。遵从Poincaré,我们称其为G关于点z_{0}的基本多边形P_{o}

我们将基本多边形的性质总结如下:

a)限定g_{0}=idP_{0}不依赖于G中其他元素的排列顺序;

b)任意有界集至多与基本多边形的有限多条边相交:若轨道z_{0},z_{1},...,z_{n},...是闭的,则基本多边形本身仅有有限多条边。开轨道不能包含在某紧集中,也就是说,\{d(z_{0},z_{n})\}是无界的,由此也可推出结论成立;

c)由b)可推出基本多边形是上半平面中的开集;

d)我们知道PSL(2,\mathbb{R})是双曲几何的刚体群,故g_{j}(P_{0})=P_{j}。所有P_{j}彼此不交,且\cap \bar{P_{j}}=\mathbb{H}。特别的,基本多边形中的任意两点关于G不等价;

下面限定\mathbb{H}/G是紧的:

e)轨道必须闭合,故\{d(z_{0},z_{n})\}有界,推出\bar{P_{0}}是紧集。由b)知P_{0}仅有有限条边;

f)P_{0}的边与G中的非平凡元素一一对应,容易证明两条边关于G等价当且仅当对应的群元素互逆。因为g_{j}不能保持某条边不动,故P_{0}有偶数条边,两两配成一对关于G等价。a)说明P_{0}的边有天然顺序,我们选定逆时针方向遍历每一条边后回到出发点,更细致一些的分析指出,任意边的2条邻边都关于G等价。将等价的边粘合起来,我们得到:以\mathbb{H}为万有覆叠的紧Riemann面同胚于亏格为g>1的可定向闭曲面(球面装上g个环柄);

g=1的情形类似,我们也希望能将所有亏格为g>1的紧Riemann面参数化。这一参数空间称为模空间。当g>1时,Riemann猜想模空间依赖于3g-3个复参数。证明这一猜想的决定性想法来自Teichmüller,此后发展成有关拟共形映射的一整套理论。直到今天,模空间仍然是代数几何学家感兴趣的对象。

代数几何方面,要实现紧Riemann面到复射影空间的嵌入;函数论方面,要构造S上的亚纯函数,或等价的,上半平面中的自守函数。类似于第5章,如果我们能构造定义在上半平面的全纯函数f,对g \in G满足f(gz)=\gamma_{g}(z)f(z)\gamma_{g}(z)是在上半平面全纯且处处不为0的解析函数,满足\gamma_{gh}(z)=\gamma_{g}(hz)\gamma_{h}(z),则这两方面的要求均得以满足。

g的Jacobi行列式为J_{g},链式法则说明J_{g}^{-k}满足对\gamma_{g}(z)的要求,即可以取\gamma_{g}(z)=(cz+d)^{2k}。相应的f称为自守形式,因为\mathbb{H}上的k次微分形式fdz^{k}满足自守关系f(gz)d(gz)^{k}=f(z)dz^{k}。特别地,k=0定义了全纯的自守函数。

正是在前面所提到的不眠之夜,Poincaré构造出了满足上述条件的“Fuchs theta函数”(后世称为Poincaré级数)。为第7章的讨论方便记,我们给出Poincaré原始构造的一个变体:

\theta_{k,n}(z)=\sum^{*}J_{g}^{k}h(gz)h(z)=e^{2n\pi iz}

整参数k称为Poincaré级数的权,整参数n称为Poincaré级数的特征。满足h(gz)=h(z)g构成子群G_{0}\sum^{*}指求和在陪集G/G_{0}上进行。可以证明这种求和方式是定义良好的,且在k >1n \geq 0时保证级数在上半平面的任意紧子集上绝对且一致收敛,从而不难验证级数的自守性。

利用Poincaré级数可以实现亏格大于1的紧Riemann面到复射影空间的嵌入。同样的想法应用到高维,就成为Siegel在高维自守形式方面所做的工作的一部分。另一方面,2个权为k的Poincaré级数的商是\mathbb{H}上的自守函数,因而我们证明了紧Riemann面上总存在非常数的亚纯函数。由于单值化定理的失效,这对高维紧复流形是不成立的。

最后我们指出,我们对紧Riemann面的分类打开了一扇通往Poincaré猜想的暗门。注意到一个拓扑曲面一定具有微分结构,而一个带有微分结构的可定向曲面又一定具有复结构,因而我们实际上已证明了亏格作为拓扑不变量给出2维可定向闭曲面的完备分类。单连通曲面总是可定向的,由此马上证得Poincaré猜想的2维版本:单连通的2维闭曲面同胚于球面。

受2维情形的启发,Thurston猜想可以将3维紧流形分解为若干子流形,每个子流形上容许8种几何结构中的一种,进而证明Poincaré猜想。利用Hamilton发展出的Ricci流技术,Perelman证明了Thurston的几何化猜想。凭借这一突破摘得2006年Fields奖的他却拒绝领奖,并放弃了Clay研究所为Poincaré猜想设立的百万奖金。这是大家都很熟悉的故事了。

G.Perelman (1966-    )

同样在2006年,田刚等人用Ricci流的手段重新证明了单值化定理。

在复几何和拓扑学这两个如此不同的领域所做的开创性工作,被后人如此深刻有力地结合在一起,这是Poincaré所想不到的吧。

2 thoughts on “从模函数到单值化定理 Ⅵ

    • 这是一个经典结果。尴尬的是我没法简单地解释它,只好稍微展开说一说。
      对于流形,我们有TOP, PL和DIFF 3个常用的category,研究三者的关系是拓扑学的核心问题之一。MO上有人对当前的landscape做过(不算太精细的)总结:
      http://mathoverflow.net/questions/96670/classification-of-surfaces-and-the-top-diff-and-pl-categories-for-manifolds
      限制到2维和3维,已知TOP=PL=DIFF:
      (1)TOP=PL: 拓扑曲面容许PL结构,这是Radó的三角化定理;唯一性即所谓的Hauptvermutung. 3维的情况由Moise证明。
      权威的reference是Moise, Geometric topology in dimensions 2 and 3
      (2)PL=DIFF: 通常被称为smoothing problem. 3维以下的情况参见
      Thurston, Three-dimensional geometry and topology, Vol.1, 3.10

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s