# 从模函数到单值化定理 Ⅵ

Prologue: …For fifteen days I strove to prove that there could not be any functions like those I have since called Fuchsian functions. I was then very ignorant; every day I seated myself at my work table, stayed an hour or two, tried a great number of combinations and reached no results. One evening, contrary to my custom, I drank black coffee and could not sleep. Ideas rose in crowds; I felt them collide until pairs interlocked, so to speak, making a stable combination. By the next morning I had established the existence of a class of Fuchsian functions, those which come from the hypergeometric series; I had only to write out the results, which took but a few hours….

——H. Poincaré

a）椭圆型：若$tr^{2}(w)<4$，则$w$共轭于旋转变换，在上半平面和下半平面各有1个不动点；

b）抛物型：若$tr^{2}(w)=4$，则$w$共轭于平移变换，在实轴上有1个不动点；

c）双曲型：若$tr^{2}(w)>4$，则$w$共轭于相似变换，在实轴上有2个不动点；

$G$$PSL(2,\mathbb{R})$的离散子群，故只有可列个元素$g_{j}$。考察$z_{0} \in \mathbb{H}$的轨道$z_{0},z_{1},...,z_{n}=g_{n}(z_{0}),...$。“垂直平分”$z_{0}z_{n}$的Poincaré直线将上半平面划分为2个部分，取所有包含$z_{0}$的部分的交，得到一个双曲几何意义下的“凸多边形”。遵从Poincaré，我们称其为$G$关于点$z_{0}$的基本多边形$P_{o}$

a）限定$g_{0}=id$$P_{0}$不依赖于$G$中其他元素的排列顺序；

b）任意有界集至多与基本多边形的有限多条边相交：若轨道$z_{0},z_{1},...,z_{n},...$是闭的，则基本多边形本身仅有有限多条边。开轨道不能包含在某紧集中，也就是说，$\{d(z_{0},z_{n})\}$是无界的，由此也可推出结论成立；

c）由b）可推出基本多边形是上半平面中的开集；

d）我们知道$PSL(2,\mathbb{R})$是双曲几何的刚体群，故$g_{j}(P_{0})=P_{j}$。所有$P_{j}$彼此不交，且$\cap \bar{P_{j}}=\mathbb{H}$。特别的，基本多边形中的任意两点关于$G$不等价；

e）轨道必须闭合，故$\{d(z_{0},z_{n})\}$有界，推出$\bar{P_{0}}$是紧集。由b）知$P_{0}$仅有有限条边；

f）$P_{0}$的边与$G$中的非平凡元素一一对应，容易证明两条边关于$G$等价当且仅当对应的群元素互逆。因为$g_{j}$不能保持某条边不动，故$P_{0}$有偶数条边，两两配成一对关于$G$等价。a）说明$P_{0}$的边有天然顺序，我们选定逆时针方向遍历每一条边后回到出发点，更细致一些的分析指出，任意边的2条邻边都关于$G$等价。将等价的边粘合起来，我们得到：以$\mathbb{H}$为万有覆叠的紧Riemann面同胚于亏格为$g>1$的可定向闭曲面（球面装上$g$个环柄）；

$g=1$的情形类似，我们也希望能将所有亏格为$g>1$的紧Riemann面参数化。这一参数空间称为模空间。当$g>1$时，Riemann猜想模空间依赖于$3g-3$个复参数。证明这一猜想的决定性想法来自Teichmüller，此后发展成有关拟共形映射的一整套理论。直到今天，模空间仍然是代数几何学家感兴趣的对象。

$g$的Jacobi行列式为$J_{g}$，链式法则说明$J_{g}^{-k}$满足对$\gamma_{g}(z)$的要求，即可以取$\gamma_{g}(z)=(cz+d)^{2k}$。相应的$f$称为自守形式，因为$\mathbb{H}$上的k次微分形式$fdz^{k}$满足自守关系$f(gz)d(gz)^{k}=f(z)dz^{k}$。特别地，$k=0$定义了全纯的自守函数。

$\theta_{k,n}(z)=\sum^{*}J_{g}^{k}h(gz)$$h(z)=e^{2n\pi iz}$

G.Perelman (1966-    )