椭圆函数论撮要


在考察过亏格为1 的紧Riemann面后,我们插入一段对亏格为1的紧Riemann面上的亚纯函数(椭圆函数)的讨论。我们采用从一般到特殊的途径,从现代的观点出发,回溯到18世纪时对椭圆积分的探索。

紧Riemann面S上的亚纯函数f有如下性质:

a)全纯的f必退化为常数,否则和最大值原理矛盾;

b)若S的亏格大于0,则f在所有极点处的留数和为0。特别的,f至少有2个极点;

c)f的零点数等于极点数(均计入重数)。更一般的,f是到\mathbb{C}P^{1}的有限叶分歧覆叠映射,故以相同的次数取到\mathbb{C}P^{1}上的所有值。

整体上我们有如下定理:

d)记S上的亚纯函数域为\mathfrak{M}(S)。若亚纯函数w是n叶分歧覆叠,则从域扩张的角度看,有[\mathfrak{M}(S):\mathbb{C}(w)]=n。证明分成2个部分:先证明[\mathfrak{M}(S):\mathbb{C}(w)]\leq n,再构造n个在\mathbb{C}(w)上线性无关的亚纯函数,这可以借助Riemann-Roch定理来完成。

我们就亏格为1的情形给出显式构造。由于f至少有2个极点,且留数和为0,一个自然的想法是在复平面上构造原点处奇部为z^{-2}的G-不变函数。基于这一考虑,Weierstrass构造了以他命名的\mathfrak{P}函数:\mathfrak{P}(z)=\frac{1}{z^{2}}+\sum^{\prime}(\frac{1}{(z-\omega)^{2}}-\frac{1}{\omega^{2}})

\sum^{\prime}意为和式取遍格中除0外的所有点,减去\frac{1}{\omega^{2}}是出于保证收敛性的考虑。

在原点处我们有Laurent展开:

\mathfrak{P}(z)=\frac{1}{z^{2}}+\sum_{k=2}^{\infty}(2k-1)G_{k}z^{2k-2},此处G_{k}=\sum^{\prime}\frac{1}{\omega^{2k}}被称为(与格相对应的)Eisenstein级数。计算时采用这一展开式是方便的。

\mathfrak{P}逐项微分得到\mathfrak{P}^{\prime}(z)=-2\sum \frac{1}{(z-\omega)^{3}}。注意到偶函数\mathfrak{P}是到\mathbb{C}P^{1}的2叶分歧覆叠,而奇函数\mathfrak{P}^{\prime} \notin \mathbb{C}(\mathfrak{P}),我们有:

(Weierstrass)\mathfrak{M}(\mathbb{C}/\Lambda)=\mathbb{C}(\mathfrak{P},\mathfrak{P}^{\prime})

这一椭圆函数域的结构定理指出,研究椭圆函数的一般性质可以从研究\mathfrak{P}\mathfrak{P}^{\prime}开始。

(\mathfrak{P}^{\prime})^{2}-4(\mathfrak{P})^{3}+60G_{2}\mathfrak{P}+140G_{3}没有极点且在原点为0,故恒等于0。这与\mathfrak{P}^{\prime}\mathbb{C}(\mathfrak{P})上的2次代数元素相符。

\mathfrak{P}^{\prime}是到\mathbb{C}P^{1}的3叶分歧覆叠,在原点处有3重极点,在\frac{\omega_{1}}{2}\frac{\omega_{2}}{2}\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}处各有1重零点。由此我们推得\mathfrak{P}(\frac {\omega_{1}}{2})=e_{1}\mathfrak{P}(\frac {\omega_{2}}{2})=e_{2}\mathfrak{P}(\frac {\omega_{1}+\omega_{2}}{2})=e_{3}是3次方程4w^{3}-60G_{2}w-140G_{3}=0的3个根。由于\mathfrak{P}是2叶覆叠,推出这3根互异,故此3次方程的判别式\Delta \neq 0

这一关键事实有不少推论。在代数几何方面,\Delta \neq 0是形如y^{2}=x^{3}+ax+b的代数曲线能被参数化的充要条件。满足这一条件的代数曲线被称为椭圆曲线。我们顺带指出,可以通过几何操作在椭圆曲线上定义一个Abel群结构,在参数化下给出椭圆函数的加法定理,这是亏格为1的代数曲线所特有的性质。在函数论方面的推论是:所有零点的和等于极点的和。

我们曾提到过,复平面上的格可以用单变量\tau标准化Im(\tau)>0。现将(e_{3}-e_{2})/(e_{1}-e_{2})视为\tau的函数,以上讨论说明这一定义在上半平面的亚纯函数不取0,1,\infty。它正是我们已反复提到的模函数\lambda

最后我们简要介绍椭圆函数产生的历史背景。在\mathbb{C}P^{1}\backslash\{e_{1},e_{2},e_{3},\infty\}上可定义多值函数z=\mathfrak{P}^{-1}(w)。它也可以用积分\int_{\gamma}1/(4w^{3}-60G_{2}w-140G_{3})^{\frac{1}{2}}dw=\int_{\gamma}dz来定义。这种类型的积分最早在计算椭圆周长中出现,故被称为椭圆积分。椭圆积分一般不能表为初等函数,这促使Euler和Legendre对实变量的情形进行了大量研究。但在复变函数论成熟之前,没有人意识到研究其在复平面上的反函数(即椭圆函数)是一个强有力的方法。

椭圆积分的反函数在复平面上具有双周期性是一个绝不明显的事实。作为一个完美主义者,最先发现这一点的Gauss选择了秘而不宣。一般将椭圆函数论的系统发展归功于Abel和Jacobi。他们的成果是19世纪初函数论研究的高峰。

2 thoughts on “椭圆函数论撮要

    • 恩,你说的对。严格地说我应该讲”是形如y^{2}=x^{3}+ax+b的曲线成为椭圆曲线的充要条件”。

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