# 从模函数到单值化定理 Ⅴ

Prologue:

…It is true that Mr. Fourier had the opinion that the principal purpose of mathematics was the benefit of the society and the explanation of phenomena of nature; but a philosopher like he should know that the sole purpose of science is the honor of the human mind, and under this title, a question about numbers is as valuable as a question about the system of the world…

——C. G. Jacobi, Letter to Legendre

C. G. Jacobi (1804-1851)

$\mathbb{\bar{C}}$为万有覆叠的紧Riemann面$S$解析同构于$\mathbb{C}P^{1}$，有理函数是其上仅有的亚纯函数。拓扑上我们得到了一个亏格为0的闭曲面（球面）。这一情形是简单的。

$\mathbb{C}$为万有覆叠的紧Riemann面$S$解析同构于$\mathbb{C}/\Lambda$$\Lambda$是某个格。从拓扑上看，这是一个亏格为1的闭曲面（环面）。

$f_{i}(z+1)=f_{i}(z)$$f_{i}(z+\tau)=e^{-2k\pi iz}f_{i}(z)$

$S$当然不能嵌入$\mathbb{C}P^{1}$。取k=3，利用上述的$f_{i}$可完成$S$$\mathbb{C}P^{2}$的嵌入。我们不再讨论技术性的细节，而是指出类似的想法可以推广到高维。高维复环面可以嵌入射影空间当且仅当其周期矩阵满足Frobenius关系。

Weierstrass提出了另一种构造椭圆函数的方法，即利用Weierstrass$\mathfrak{P}$函数。这方法简洁明了，被大多数现代课本采用。然而值得指出的是，theta函数处在数论、自守形式、函数论和数学物理的交叉点上，研究其性质有极高的附加价值。在第7章中有一个重要的例子：尖点形式$\Delta$

Jacobi noted, as mathematics’ most fascinating property, that in it one and the same function controls both the presentations of a whole number as a sum of four squares and the real movement of a pendulum.

These discoveries of connections between heterogeneous mathematical objects can be compared with the discovery of the connection between electricity and magnetism in physics or with the discovery of the similarity between the east coast of America and the west coast of Africa in geology.

The emotional significance of such discoveries for teaching is difficult to overestimate. It is they who teach us to search and find such wonderful phenomena of harmony of the Universe.

## 8 thoughts on “从模函数到单值化定理 Ⅴ”

1. JiangZefan says:

看到cp就进来了、、 看不懂。

• 哈！CP啊：）这个叫“复射影空间”：）

• JiangZefan says:

当然 我说的是舒春平老师

2. dzhy444 says:

写得太棒了，期待VI。可惜这一篇讲到代数曲线的嵌入时就看不懂了。

求推荐Riemann Surface的书。

• 敢问是我认识的某人的马甲么？眼拙，没认出来。

讲代数曲线的嵌入讲得有点潦草，主要是技术性的验证比较多，我这个人又没什么耐性。

这个系列写完以后，会有一个文献的综述。不同的书取径不同，有的着力讲单值化定理，有的着力讲Riemann-Roch定理。对古典代数几何不太熟的话，我想先用P.Griffiths的《代数曲线》增进一点感性认识是有好处的。

• dzhy444 says:

呵呵，不是。我叫丁之元，是北大09级数院的，和你有一面之缘。
现在发现复变学得完全不行，当初只是懵懵懂懂地看Ahlfors，到了最后一章就没有坚持下去，错过了精妙的部分。反倒是看了些拓扑之后意识到了历史上某些概念的产生和发展。像模函数和Theta函数当时只是作为普通例子，不知其深刻背景。现在想来那么简练的一本书确实是不会出现平凡的例子的。

• 喂，怎么说都见过好几面的好吧！anyway，谢谢丁兄来捧场。以后请多指教啦。
Ahlfors的确是值得反复读的。我上阵子又重读了一遍，也是写这个系列的动因之一：把他藏着没说的话给说了。

3. 談到Frobenius條件時，或許可以順便提及Kodaira’s embedding theorem