从模函数到单值化定理 Ⅳ


Prologue:

…At the moment when I put my foot on the step the idea came to me, without anything in my former thoughts seeming to have paved the way for it, that the transformations I had used to define the Fuchsian functions were identical with those of non-Euclidean geometry. I did not verify the idea; I should not have had time, as, upon taking my seat in the omnibus, I went on with a conversation already commenced, but I felt a perfect certainty…

——H. Poincaré

H. Poincaré (1854-1912)

作为Riemann面仅有的万有覆叠,考察\mathbb{\bar{C}}\mathbb{C}\triangle的解析自同构群是重要的:万有覆叠映射\pi:\hat{S} \to S定义了单值群GAut(\hat{S})的单同态。单值群在\hat{S}上的作用是忠实的,因而通过考察覆叠映射研究Riemann面的性质可以从考察Aut(\hat{S})\hat{S}上忠实作用的离散子群开始。

\mathbb{\bar{C}}的解析自同构群为Möbius变换群,等价的说法是\mathbb{C}P^{1}的解析自同构群为PSL(2,\mathbb{C})PSL(2,\mathbb{C})中所有保持无穷远点不动的元素有形式\left({\begin{array}{cc} a&b\\ 0&d\\ \end{array}}\right),此即\mathbb{C}上的线性函数,在迭代下构成\mathbb{C}的解析自同构群。最后,Schwarz引理的一个经典应用定出\triangle的解析自同构有形式e^{i\theta}(z-z_{0})/(1-\bar{z_{0}}z)\theta \in \mathbb{R}z_{0} \in \triangle

将所有单连通的\Omega \subsetneq \mathbb{C}取作对象,将它们之间的解析同构取作态射,就得到范畴论中称为广群(groupoid)的结构。一个直接的推论是任意两个对象的解析自同构群同构。特别地,\triangle\mathbb{H}的解析自同构群同构,而Aut(\mathbb{H})=PSL(2,\mathbb{R})

同样的讨论可以用来建立拓扑学中的经典命题:在道路连通的拓扑空间中,对任意两个基点定义的基本群同构。

下面我们利用万有覆叠来考察一般的Riemann面。

a) 以\mathbb{\bar{C}}为万有覆叠的Riemann面。由于PSL(2,\mathbb{C})中的元素作用在\mathbb{C}P^{1}上恒有不动点,推出G是平凡的。故唯一以\mathbb{\bar{C}}为万有覆叠的Riemann面是\mathbb{\bar{C}}本身。

b) 以\mathbb{C}为万有覆叠的Riemann面。忠实作用在\mathbb{C}上的线性变换有形式z \mapsto z+b。取平移函数作为G的生成元,并要求其在\mathbb{Q}上线性无关。离散群G至多有2个这样的生成元,分类讨论得到S解析同构于\mathbb{C}\mathbb{C}\backslash\{0\}(借助一个指数变换)或\mathbb{C}/\Lambda\Lambda是某个格。

c)除了以上讨论过的4种例外,其余 Riemann面均以\triangle\mathbb{H})为万有覆叠。这是最为有趣的情形,因为我们缺少PSL(2,\mathbb{R})\mathbb{H}上忠实作用的离散子群的完备描述。Poincaré第一个研究了PSL(2,\mathbb{R})的离散子群,并将它们命名为Fuchs群。如果Fuchs群的所有元素都忠实地作用在\mathbb{H}上,则称其为无挠的。显然,以\mathbb{H}为万有覆叠的Riemann面同构于\mathbb{H} /GG是某个无挠的Fuchs群。

以上分类也给出模函数\lambda“存在性”的证明:只需取万有覆叠映射\pi:\triangle \to \mathbb{C}\backslash\{0,1\}。正如我们已看到的,\lambda和单值化定理之间有很微妙的互相依赖关系。

对紧Riemann面\overline{S}S \subset \overline{S}|\overline{S}/S|>2,万有覆叠映射\pi:\triangle \to S是模函数的类比。这允许我们将“转换原理”推广到Riemann面上:对广义“有界”函数f成立的命题对映射到Sf亦成立。例如Picard定理现在可以叙述为:全纯的f:\mathbb{C} \to S必为常数。

现在让我们重新回到开篇时Poincaré的自述。Poincaré的这一灵感开启了复几何的研究,有着极其深远的影响。这里的要点是,我们可以在\mathbb{\bar{C}}上引入球面度量,在\mathbb{C}上引入欧式度量,在\triangle上引入双曲度量(又称Poincaré度量)。Poincaré意识到这一双曲度量在解析自同构群的作用下是不变的,也就是说,Aut(\triangle)恰好对应双曲几何中的刚体变换(Escher的画是对这一数学事实的艺术再现:所有天使和恶魔都是同样“大小”的,而他们之间相差一个单位圆盘的解析自同构)。对\mathbb{\bar{C}}\mathbb{C}也有平行的命题成立。

进一步,通过覆叠映射,我们可以在任意Riemann面上引入上述3种度量中的一种。计算指出上述度量分别有常曲率1,0,-1,而共形映射保持曲率,故任意Riemann面均可以做为一个常曲率空间来考察。

以上讨论允许我们用微分几何的手段研究Riemann面。1938年Ahlfors注意到Schwarz引理来源于解析映射的“刚性”。他将“刚性”用度量的语言叙述,在此基础上推广了Schwarz引理。这项工作的一个副产品是Picard定理的微分几何证明。采用这个证明可以绕过对\lambda的考察。然而正如我们已看到的,在Riemann面上引入几何结构的想法源于单值化定理,而单值化定理的成立又在本质上依赖于\lambda的性质,因而可以说,Picard的原始证明仍有其不可替代的地方。在这一问题上,引用Ahlfors本人的意见最合适不过:

Many other proofs have been given which are more elementary in that they need less preparation, but none is as penetrating as the original proof.

最后我们简要地讨论一下单值化定理在高维的推广。

在拓扑方向上我们所知不多。事实上,单连通的高维复流形的分类非常复杂。出现这种情况的原因之一是在多复变函函数论中Riemann映射定理不再成立。Poincaré提供了一个著名的反例:对n \geq 2,不存在双全纯映射将\mathbb{C}^{n}中的单位球映为多圆柱。

在复几何方向上,一个部分的推广是Aubin和丘成桐各自独立证明的:第一陈类为负的紧Kähler流形上容许一个Kähler-Einstein度量。第一陈类为0时的命题可由Calabi猜想推出。然而,存在不容许Kähler-Einstein度量的第一陈类为正的紧Kähler流形,在这个方向上,丘和他的学生田刚取得了一系列后继成果。

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