从模函数到单值化定理 Ⅲ


Prologue:

…Finally the last Sections (§19-21) are devoted to the uniformization theory, which was sketched by Klein and Poincaré in an audacious breakthrough and was recently put on a firmer basis by Koebe. Thus we get into the temple where the divinity (if I am allowed to use this image) is restored to itself, from the earthy jail of its particular realization: through the two dimensional non-Euclidean crystal, the archetype of the Riemann surface may be contemplated, pure and liberated from any obscurity or contingency (as far as it is possible)…

——H.Weyl  The Concept of a Riemann Surface

Weyl的这本出版于1913年的书被广泛地认为是第一本用“现代”方法讨论Riemann面的著作。如今通行的对“流形”的定义最早出现在这本书中。附带一提,“线性空间”、“辛群”、“联络”等概念的现代定义也是由Weyl提出的。

我们用\Omega\mathbb{C}上的连通开集,H(\Omega)\Omega上所有解析函数构成的函数空间。内闭一致收敛性在H(\Omega)上定义了自然的拓扑。为方便起见我们也可以赋予H(\Omega)与此拓扑相容的度量。关键性的事实是在此度量下H(\Omega)是完备的:

(Weierstrass) 在\Omega上内闭一致收敛的解析函数列收敛于某解析函数。

在有限维分析的实践中,完备性的如下变体往往更加好用:

(Bolzano-Weierstrass) 完备空间的有界序列有收敛子列。

我们试图将其平行地移植到无穷维的情形。称解析函数族\mathscr{F}是正规的,如果其中任意函数序列有收敛子列。Montel给出了以他命名的正规性判则:

(Montel正规性判则Ⅰ)在任一紧致集上一致有界的解析函数族\mathscr{F}是正规的。

可以预料,Montel正规性判则Ⅰ的主要应用是保证特定函数的存在性。一个经典的例子是Riemann映射定理:

对单连通域D \subsetneq \mathbb{C},在D上单叶解析的函数\{ f: D \to \triangle, f(z_0)=0 \}存在。Schwarz引理的一个推论是,如使\left\vert f^{\prime}(z_0)\right\vert取到极大值的f存在,则其必须映满\triangle。另一方面,利用Montel正规性判则Ⅰ可知此函数族为正规族。同时它也是H(\Omega)中的闭集,故此函数族中确实存在使\left\vert f^{\prime}(z_0)\right\vert取到极大值的单叶函数f

Montel正规性判则Ⅰ将函数空间的“有界性”(“紧致性”)与函数的一致有界性联系起来。这提示我们可以把“转换原理”应用到Montel正规性判则Ⅰ上,得到更强的:

(Montel正规性判则Ⅱ)若亚纯函数族\mathscr{F}\mathbb{\bar{C}}上有3个空隙值,则\mathscr{F}是正规的。

需要补充说明的是,对于亚纯函数族,函数的内闭一致收敛性的定义基于\mathbb{\bar{C}}上的球面度量。

利用Montel正规性判则Ⅱ,我们来证明单复分析中最核心的定理之一:Klein-Poincaré-Koebe单值化定理。

(Klein-Poincaré-Koebe) 单连通的Riemann曲面解析同构于\mathbb{\bar{C}}\mathbb{C}\triangle

证明:首先注意到单连通的紧Riemann曲面有亏格0,故解析同构于\mathbb{\bar{C}}。因而只需证明单连通的开Riemann曲面S解析同构于\mathbb{C}\triangle

S上取一个单连通域序列\{S_{n}\},满足S_{n} \subset \bar{S_{n}} \subset S_{n+1},且S=\bigcup^{\infty}_{n=1} S_{n}。对每个S_{n},我们定义一个“副本”S_{n}^{\prime}。将它们的边缘粘合在一起,得到紧曲面S_{n}^{c}。由于S_{n}具有圆盘的拓扑,S_{n}^{c}具有球面的拓扑,因而解析同构于\mathbb{\bar{C}}

S_{1}上选取p_{0} \neq p_{1},则这两点包含于所有S_{n}S_{n}^{c}中。记p_{0}的“副本”为p_{0}^{\prime}。存在解析同构f_{n}: S_{n}^{c} \to \mathbb{\bar{C}},使得f_{n}(p_{0})=0f_{n}(p_{1})=1f_{n}(p_{0}^{\prime})=\infty。将其限制到S_{n}上,得到单叶函数族\{ f_{n}\}:S_{n} \to \mathbb{C}。由Montel正规性判则Ⅱ,\{f_{n}\}S_{n}\backslash\{p_{0},p_{1}\}上正规,从而在S_{n}上正规。

收敛子序列的极限函数fS上的单叶解析函数。f(p_{0})=0f(p_{1})=1,所以f不是常数,Im(f)\mathbb{C}中的单连通域。若Im(f)=\mathbb{C},则S解析同构于\mathbb{C}。若Im(f) \subsetneq \mathbb{C},则由Riemann映射定理,S解析同构于\triangle

顾名思义,单值化定理与多值函数的“单值化”有关:给定Riemann面S,存在万有覆叠映射\pi:\hat{S} \to S。若f是定义在S上的多值解析函数,则\pi \circ f是定义在单连通的\hat{S}上的多值函数,从而是一个单值函数。单值化定理给出上述\hat{S}的完备分类。

单值化定理、双曲几何及自守函数紧密地联系在一起。我们将在以下几章中讨论这一联系。

最后谈一点数学史。如Weyl所说,这一理论上的突破首先是由Klein和Poincaré取得的。两人在这一课题上的竞争是数学史上饶有兴趣的话题。为此Klein付出了健康上的代价。此后他再也没能做出创造性的工作,而是致力于建设Göttingen学派和编纂数学百科。Poincaré逝世后,法国的数学研究逐渐和主流脱轨,而以Hilbert为核心的Göttingen学派则俨然成为数学界的“正宗”。就这个意义上来说,Klein完成了他的“复仇”。

F.Klein (1849-1925)

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