# 从模函数到单值化定理 Ⅲ

Prologue:

…Finally the last Sections (§19-21) are devoted to the uniformization theory, which was sketched by Klein and Poincaré in an audacious breakthrough and was recently put on a firmer basis by Koebe. Thus we get into the temple where the divinity (if I am allowed to use this image) is restored to itself, from the earthy jail of its particular realization: through the two dimensional non-Euclidean crystal, the archetype of the Riemann surface may be contemplated, pure and liberated from any obscurity or contingency (as far as it is possible)…

——H.Weyl  The Concept of a Riemann Surface

Weyl的这本出版于1913年的书被广泛地认为是第一本用“现代”方法讨论Riemann面的著作。如今通行的对“流形”的定义最早出现在这本书中。附带一提，“线性空间”、“辛群”、“联络”等概念的现代定义也是由Weyl提出的。

（Weierstrass) 在$\Omega$上内闭一致收敛的解析函数列收敛于某解析函数。

（Bolzano-Weierstrass) 完备空间的有界序列有收敛子列。

(Montel正规性判则Ⅰ)在任一紧致集上一致有界的解析函数族$\mathscr{F}$是正规的。

Montel正规性判则Ⅰ将函数空间的“有界性”（“紧致性”）与函数的一致有界性联系起来。这提示我们可以把“转换原理”应用到Montel正规性判则Ⅰ上，得到更强的：

(Montel正规性判则Ⅱ)若亚纯函数族$\mathscr{F}$$\mathbb{\bar{C}}$上有3个空隙值，则$\mathscr{F}$是正规的。

(Klein-Poincaré-Koebe) 单连通的Riemann曲面解析同构于$\mathbb{\bar{C}}$$\mathbb{C}$$\triangle$

$S$上取一个单连通域序列$\{S_{n}\}$，满足$S_{n} \subset \bar{S_{n}} \subset S_{n+1}$，且$S=\bigcup^{\infty}_{n=1} S_{n}$。对每个$S_{n}$，我们定义一个“副本”$S_{n}^{\prime}$。将它们的边缘粘合在一起，得到紧曲面$S_{n}^{c}$。由于$S_{n}$具有圆盘的拓扑，$S_{n}^{c}$具有球面的拓扑，因而解析同构于$\mathbb{\bar{C}}$

$S_{1}$上选取$p_{0} \neq p_{1}$，则这两点包含于所有$S_{n}$$S_{n}^{c}$中。记$p_{0}$的“副本”为$p_{0}^{\prime}$。存在解析同构$f_{n}: S_{n}^{c} \to \mathbb{\bar{C}}$，使得$f_{n}(p_{0})=0$$f_{n}(p_{1})=1$$f_{n}(p_{0}^{\prime})=\infty$。将其限制到$S_{n}$上，得到单叶函数族$\{ f_{n}\}:S_{n} \to \mathbb{C}$。由Montel正规性判则Ⅱ，$\{f_{n}\}$$S_{n}\backslash\{p_{0},p_{1}\}$上正规，从而在$S_{n}$上正规。

F.Klein (1849-1925)