从模函数到单值化定理 Ⅰ


Prologue :

M.C. Escher (1898-1972)

Circle Limit IV

 

下面的两组定理几乎覆盖了单复分析的全部内容:

Liouville定理                            Picard小定理

Weierstrass定理                     Picard大定理

Montel正规族判则Ⅰ               Montel正规族判则Ⅱ

Riemann映射定理                  Klein-Poincaré-Koebe单值化定理

本文试图处理这两组定理之间的“平行”关系。具体地说,可以建立某个“转换原理”,实现从前一组定理(较易)到另一组定理(较难)的自然转换。这一想法最先被Picard应用于证明两条以他命名的深刻定理。然而其应用尚不止于此。尤其是,用这一想法可以给出单复分析中的核心定理:Klein-Poincaré-Koebe单值化定理的一个证明。我们拟围绕单值化定理做多一些的讨论。

 

“转换原理”的核心是所谓的模函数\lambda。历史上,模函数\lambda是数学家研究椭圆函数时得到的副产品。

可以绕开椭圆函数直接构造\lambda。这正是Escher在Circle Limit IV中所做的事情。我们用严格的数学语言来叙述:

如图,根据Riemann映射定理,存在\lambda: D \to \mathbb{H}将单连通区域D共形地映射到上半平面\mathbb{H},并将a,b,c三点分别映为0,1,\infty. Schwartz反射原理允许我们将\lambda延拓到邻近的3个暗色区域上,将其共形地映为下半平面。在暗色区域上定义的\lambda又可以进一步延拓到邻近的亮色区域上。重复此过程,我们得到定义在整个单位圆上的全纯函数\lambda: \triangle \to \mathbb{C},取遍除0,1外的一切值。

注意到单位圆\triangle和上半平面\mathbb{H}共形等价,将\lambda拉回到\mathbb{H}上,即和椭圆函数论中模函数\lambda的定义一致。

容易验证\lambda\triangle \mathbb{C}\backslash\{0,1\}的万有覆叠映射,\lambda^{-1}是可以严格定义的多值解析函数。

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s