从模函数到单值化定理 Ⅱ


Prologue:

要善于“退”,足够地“退”,退到最原始而不失去重要性的地方。

——华罗庚

 

“转换原理”可以粗略地叙述如下:如果对“有界”函数叙述的较弱命题成立,则对“在\mathbb{C}上有2个空隙值”的函数所叙述的较强命题也成立。

 

我们用具体的例子来说明。首先是经典的Liouville定理:

任何一个在\mathbb{C}上有界的全纯函数f必为常值函数。

“转换原理”将其加强为著名的Picard小定理:

任何一个在\mathbb{C}上有2个空隙值的全纯函数F必为常值函数。

 

下面来证明Picard小定理,借以说明“转换原理”的运作机制:

首先注意到,我们可以把Liouville定理中的有界性要求替换为Im(f) \subset \triangle.

假设全纯函数F\mathbb{C}上有2个空隙值。考虑复合函数\mu=\lambda ^{-1} \circ F。任取z_0 \in \mathbb{C}F(z_0)=w_0。在w_0的邻域中\lambda^{-1}可取到某一单值分支。由于\lambda是覆叠映射,定义在单连通域\mathbb{C}上的\mu可延拓成一个单值函数,并满足Im(\mu) \subset \triangle。由Liouville定理,\mu为常值函数,从而F为常值函数。

此证明最早由Picard给出。

C.E.Picard (1856-1941)

 

和Picard小定理相比,Picard大定理更加微妙。我们需要更多的准备。

首先陈述经典的Weierstrass定理:

解析函数在本性奇点的每一邻域中都任意地逼近于任意复数值。

为应用“转换原理”,我们将其重新叙述为(较弱的):

命题1:若解析函数f在孤立奇点的某一邻域内“有界”,则此奇点不是本性奇点(从而是可去奇点或极点)。

此处的“有界”指的是:视\mathbb{\bar{C}}为球面,则此邻域的象包含在球面上的某大圆中。对于可去奇点,其邻域的象点“聚拢”到复平面上的某一常点;对于极点则“聚拢”到无穷远点。在这两种情况下,我们都得到广义的“有界性”。而对于本性奇点,任一邻域的象都“分散”在整个球面上。

通过一个Möbius变换,我们可以进一步将“广义有界”的要求替换为:存在某邻域的象落在\triangle中。

同时我们也对“转换原理”稍作推广:对\mathbb{\bar{C}}上的广义“有界”函数成立的命题对“在\mathbb{\bar{C}}上有3个空隙值”的函数亦成立。

不妨假定奇点为0。推广后的“转换原理”将命题1转换为Picard大定理:若解析函数F: \mathbb{\bar{C}}\backslash\{0\} \to \mathbb{\bar{C}}在奇点的某一邻域内有3个空隙值(计入\infty),则0不是本性奇点。

换言之,解析函数在本性奇点的任一邻域中至多有2个空隙值(计入\infty)。

证明:选取以0为圆心且半径充分小的穿孔圆盘\Omega\backslash\{0\}使其满足假设。将F 限制到\Omega\backslash\{0\}上。同样的,考虑复合函数\mu=\lambda ^{-1} \circ F。此处的困难是\Omega\backslash\{0\}并非单连通域,故证明Picard小定理时所用的解析延拓未必给出单值函数。这要求我们推广命题1为:

命题2:若多值解析函数f(更准确地说,给定的初始函数芽在穿孔圆盘上延拓而成的全局解析函数)在孤立奇点的某一邻域内“有界”,则此奇点是代数奇点(支点)。

一个简单的证明手法是利用单值化定理对f进行单值化,从而化归为命题1。

总而言之,就其本质而言,Picard大定理是一个应当在Riemann面上陈述的定理。

 

最后我们希望对“转换原理”做一个一般的讨论。复分析中隶属于值分布论的结果一般都是比较深刻的。“转换原理”允许我们“足够地退”,退到论证“有界性”。讨论后者时,常有更多分析的手段可以采用。例如Liouville定理和Weierstrass定理都可以通过初等估计来证明。在第3章中我们要将函数的有界性和函数空间的“紧致性”联系起来。

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