Boltzmann方程,H定理和非平衡态统计力学


我一直觉得熵是一个极其神秘而有趣的概念(尽管对这方面的物理知识几近一无所知)。前些日子听了新晋Fields奖得主C.Villani关于Landau阻尼的讲座。他的法式夸张和他的法式口音同样典型,看来是一个很聪明(也很自恃)的人。无论如何,这个讲座重新激起了我对统计物理的兴趣。

Boltzmann方程是理解熵的基本模型之一。这篇文章是我的学习笔记。

Rezakhanlou, Villani  Entropy Methods for the Boltzmann Equation

大数目的同类分子群(例如稀薄气体)的分布将如何演化?换言之,给定2维/3维构型空间V,我们希望考察在T^*V \times [0,+\infty)上定义的概率密度函数f_t(x,p) \geq 0的演化。

定义Liouville算子L=\partial_t+\{\cdot,H\}=\partial_t+v \cdot \nabla_x+F \cdot \nabla_p

分子间不存在碰撞:连续性方程给出Liouville方程Lf_t=0(概率密度局域守恒)。

分子间存在弹性碰撞:加入碰撞项C(f_t),我们得到Boltzmann方程Lf_t=C(f_t)

基于所谓的分子混沌假设,Boltzmann给出的碰撞项是C(f_t)=Q(f_t,f_t),其中

\displaystyle Q(f_1,f_2)=\int_{S^2}\int_{\mathbb{R}^3}(f^{'}_1 f^{'}_2-f_1 f_2)B(p_1-p_2,\sigma)dp_2 d\sigma

这个非线性项描述了动量为p_i的2个分子在x处相撞后动量改变为p_i^{'}的过程(i=1,2)。发生完全弹性碰撞时,动量和动能守恒,(p_1,p_2)可用单位向量\sigma \in S^2参数化。碰撞核B是非负Borel函数,取决于p_1-p_2及其与\sigma的交角\theta,它描述了分子的“弹性”。

理论上经常考察Boltzmann方程的如下简化:

(1)齐性空间模型:f_t(x,p)=f_t(p)。特别地,L中的v \cdot \nabla_x项消失。

(2)无附加力场:F \equiv 0。特别地,L中的F \cdot \nabla_p项消失,且总动能守恒。

(3)f_t满足下列3种典型的边值条件之一:周期性条件V=T^3,此时总动量守恒;回弹条件f_t(x,p)=f_t(x,-p)x \in \partial V;镜面反射条件f_t(x,p)=f_t(x,R_x p)x \in \partial VR_x pp关于x处法线的镜面反射象,此时总角动量守恒。

(4)假定B \sim |p_1-p_2|^{a},碰撞核B可分为硬分子型(a>0),软分子型(a<0)和Maxwell分子型(B|p_1-p_2|无关,仅取决于\cos \theta)。根据\theta \to 0时的表现,碰撞核B可分为截断核(\int B d\sigma<+\infty)和非截断核(\int B d\sigma \to +\infty)。

以下讨论假定(2)成立,总动能守恒(且有限)。此时弱解的存在性是已知的(DiPerna, Lions),全局唯一性和正则性则(像Navier-Stokes方程一样)仍是著名的开问题。

定义H泛函H(f)=\int_{T^*V} f \mathrm{log} f,Boltzmann最杰出的工作是提出了H定理

\displaystyle \frac{d}{dt} H(f_t) \leq 0。特别地,假定碰撞核B几乎处处大于0,满足边值条件(3)且达到全局平衡态(泛函极小值)的f_t(x,p)将形如M(p)M(p)是某个Maxwell分布

S(f)=-kH(f)称为系统的Gibbs熵(kBoltzmann常数),它推广了Boltzmann熵S=k \mathrm{log} W。在这个观点下H定理应视为热力学第二定律的一例。

L.Boltzmann (1844-1906)

Villani在讲座中提到了他拜访Boltzmann墓的情景。此君最喜欢的公式正是刻在墓上的S=k \mathrm{log} W

信息论中,一个直接的类比是概率分布fShannon熵S(f)=-\int f \mathrm{log} f dx。Shannon注意到可以用S来衡量“信息量”。例如不等式S((f,g)) \leq S(f)+S(g)相当于“独立事件包含的信息量大于相关事件”。

熵为研究偏微分方程提供了一个强力的工具,而信息论又为熵的研究注入了新的洞见。

以下讨论假定(2)(3)成立。技术上我们要求若V \subset \mathbb{R}^3V必须是严格凸的。

非平衡态统计力学的一个基本问题是:系统是否最终会收敛到全局平衡态?就当前的情形,我们要问\displaystyle \lim_{t \to \infty} f_t \to M是否对Boltzmann方程的任意解成立?如若成立,其收敛速度如何?

对第1个问题的回答是:若f_t满足一定的先验估计,我们可以保证L^1意义下的弱收敛。第2个问题启发了许多工作(甚至形成了一个子领域),下面仅介绍一个特出的结果。

在信息论中,常用Kullback-Lerbler距离(相对熵)来衡量2个概率分布fg的差异大小:\displaystyle D(f|g)=H_g(\frac{df}{dg})=\int \mathrm{log}(\frac{df}{dg})dfD(f|g) \to 0当且仅当f几乎处处趋于g,这给出L^1意义下的弱收敛。

下面是一个较新的结果(2005),也是Villani获2010年Fields奖的主要工作之一:

(Desvillettes, Villani)假定f_t满足某些(自然的)先验估计,则D(f_t |M)=O(t^{-\infty})

Desvillettes, Villani  On the trend to global equilibrium for spatially inhomogeneous kinetic systems: the Boltzmann Equation

上述结果以其一般性取胜:对远离平衡态的f_t给出这样的一致估计要克服许多技术困难。

对特定的碰撞核B(例如硬分子模型),收敛速度可能是指数级的:这方面的研究仍在进行中。

注记

Villani的讲义参考了一篇由Carlen与卢旭光合作的文章:假定(1)(2)成立,他们针对(4)中的Maxwell型截断核构造了一个极其缓慢的收敛模型。这在某种程度上补充了上述Villani的结果。

09年在清华的时候,卢老师是我分析课的任课老师。他极其敬业(令我印象很深的是他曾自费打印Tao谈数学的文章分发给全班),对我个人也很关照。那时我隐约知道他是做统计物理学的。10年Fields奖颁出时我已南下赴港,没能听到他对Villina工作的评论。另一方面,港大的Mok恰好是这届Fields奖的评委之一,不过他也没有公开评论获奖者的工作。

写下这个私人注记,想说明的是:数学圈其实是很小的。

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9 thoughts on “Boltzmann方程,H定理和非平衡态统计力学

  1. Luqing Ye says:

    你的东西我一个字也看不懂.我只是有一个建议:有没有觉得你的博客里那些公式突出来显得太难看了?

    • 去你的空间看了看,回头看看自己的,似乎的确很丑:)可否告知你嵌入公式的方法?

      (我用的是$latex $)

      • Luqing Ye says:

        我跟你一样,也是使用$latex $.我认为是你的模板不好,你那个模板里数学公式显示出来感觉很凸,还是换一个吧。

  2. 廖千里 says:

    潇神最近有看这个东西啊。除了这篇还能基本跟上,别的文章我好像都看不懂。现在你在UCSD吗?不知道你学数学的什么方向,我基本上也算是正在学概率与统计的方向,因为我研究方向是neural network computing,computer vision还有machine learning。然后我最近就在看Restricted Boltzmann Machine(是近几年神经计算领域研究比较多的一个模型)。给我个电话有空交流一下?还想请教你数学问题呢。

    • 啊,术业有专攻而已,不要说的这么客气。一般来说,搞应用的家伙“请教”的问题都会让我无所适从难以思考(特地wiki了一下你提到的几个名词,不怕羞的说,觉得很是fancy,“已然神级”,哈哈)。我在加州的电话:858-333-1461。

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